統計準1級　第1章　事象と確率　解説

ベイズの定理

$$
P( A | B ) = \frac{P(B | A) P (A)}{P(B)}
$$

この形だとわかりにくいので
分母の値を両辺にかけると

$$
(事象Aも事象Bも両方起こる確率)\\{}\\
= P( A | B ) P(B)\\{}\\
= P(B | A) P (A)
$$

の方がわかりやすいので
この形から変形するといい

ベイズに関してもう少し踏み込んだことが
知りたいのであれば下記の記事を参照されたい

問題

問1.1 (1)

受験生の数を$${x}$$とする

$$
合格者数 \\{}\\
= (男子合格者数)+(女子合格者数)\\{}\\
= (x \times 0.6 \times 0.4) + (x \times 0.6 \times 0,5) \\{}\\
= 0.44x
$$

$$
受験生の数 \times 合格率 = 合格者数
$$

なので

$$
合格率 = \frac{0.44x}{x} = 0.44
$$

問1.1 (2)

$${A}$$を女子を選ぶ事象
$${B}$$を合格者を選ぶ事象
とする

求めるのは

$$
P( A | B ) \\{}\\
= \frac{P(B | A) P (A)}{P(B)}　\\{}\\
= \frac{(女子の合格率) \times (女子の比率)}{全体の合格率} \\{}\\
= \frac{0.50 \times 0.40}{0.44} \\{}\\
= \frac{5}{11}
$$

問1.2 

簡単なので省略

問1.3（1）

$${X}$$罹患する事象
$${Y_1}$$検査1で陽性になる事象
とする

$$
P( X | Y_1 ) \\{}\\
= \frac{P(Y_1 | X) P (X)}{P(Y_1)}　\\{}\\
= \frac{(罹患していて検査1が陽性の確率) \times (罹患している確率)}{陽性の確率} \\{}\\
= \frac{0.99 \times 0.01}{0.99 \times 0.01 + 0.02 \times 0.99} \\{}\\
= \frac{1}{3}
$$

問1.3（2）

$${X}$$罹患する事象
$${Y_1}$$検査1で陽性になる事象
$${Y_2}$$検査2で陽性になる事象

求めるのは$${P( X | Y_1, Y_2 )}$$である
この値を求めるのに下の等式を利用する

$$
(Y_1が起こる前提でXとY_2が起こる確率)\\{}\\
= P( X | Y_1, Y_2 ) P(Y_2 | Y_1)\\{}\\
= P(Y_2 | X, Y_1) P (X | Y_1)
$$

$${P(Y_2 | Y_1)}$$を右辺に移行すると

$$
P( X | Y_1, Y_2 ) \\{}\\
= \frac{P(Y_2 | X, Y_1) P (X | Y_1)}{P(Y_2 | Y_1)}　\\{}\\
= \frac{(罹患しているかつ検査1が陽性の時検査2が陽性の確率) \times (検査1が陽性の時罹患している確率)}{検査1が陽性の時検査2が陽性の確率} \\{}\\
= \frac{0.99 \times 0.333 \cdots }{0.90 \times 0.333 \cdots + 0.01 \times 0.666 \cdots} \\{}\\
= \frac{9}{11}
$$