統計準1級　第5章　離散型分布　解説

統計検定準1級に出てくる
確率分布を下記のような関連図を用いて
ストーリー立てて解説する

確率分布の関係性が解説されているサイトが
あまりなくストーリー重視ですので、
確率分布の証明は省略しています

また自分の備忘録も兼ねているので、
少し雑になっている部分はごめんなさいっ

二項分布

ここが全ての始まりであり、後から出てくる様々な確率分布の基礎

二項分布とは
ベルヌーイ試行（事象が表裏みたいに2通り）を独立に$${n}$$回行って
成功する回数を確率変数$${X}$$とした時に従う確率分布

確率変数 : 成功回数 $${X}$$　
パラメーター : 成功する確率$${p}$$

$$
\begin{aligned}
& P(X = k) = {}_{n} C_{k}  p^k  (1-p)^{n-k} 
\end{aligned}
$$

超幾何分布

二項分布と超幾何分布の違いはたったこれだけ

二項分布　->　すべての試行の確率は同じ
超幾何分布　->　試行ごとに次の試行の確率が変化

この違いは下記の例で考えたらわかりやすい

例えば
赤玉4個白玉6個の合計10個あって
合計4個取り出して赤玉3個取り出したいとする

二項分布のときは
1回玉を取り出したら戻す、それを4回

超幾何分布のときは
1回玉を取り出したら戻さない、それを4回

つまり超幾何分布とは
有限の$${N}$$個の要素がある母集団から
$${n}$$個要素を取り出した時に$${k}$$個の成功事象が含まれる確率分布

確率変数 : $${k}$$回の抽出で得られた成功事象を持つ要素数 $${X}$$　
パラメーター : 全体の有限母集団数$${N}$$,  成功事象を持つ母集団要素数$${M}$$,  試行で抽出される要素数$${n}$$ 

$$
\begin{aligned}
& P(X = k) = \frac{{}_{M} C_{k} × {}_{N - M}  C_{n - k} }{{}_{N} C_{n}}
\end{aligned}
$$

超幾何分布について詳しくは下記を参照

多項分布

二項分布の多変量版が多項分布

二項分布は事象が2通りしかないベルヌーイ試行を$${n}$$回したものだったが
多項分布は事象が3通り以上（サイコロの出る目とか）ある試行を$${n}$$回した確率分布である

確率変数 : 事象が起きる回数 $${X_1, X_2, \cdots, X_k}$$　
パラメーター : 事象が起きる確率 $${p_1, p_2, \cdots, p_k}$$　

$$
\begin{aligned}
& P(X_1 = x_1, X_2 = x_2, \cdots, X_k = x_k) \\
& = \frac{x!}{x_1! x_2! \cdots x_k!}   p_1^{x_1} p_2^{x_2} \cdots p_k^{x_k} 
\end{aligned}
$$

特に$${k=2}$$の時事象の種類が2通りなので
二項分布になることにも注意（当たり前）

$$
\begin{aligned}
& P(X_1 = x_1, X_2 = x_2) \\
& = \frac{x!}{x_1! x_2!}   p_1^{x_1} p_2^{x_2} \\
& = \frac{x!}{x_1! (x - x_1)!}   p_1^{x_1} (1- p_1)^{x - x_1}　 \\
& =  {}_{x} C_{x_1}  p_1^{x_1}  (1-p_1)^{x-x_1} 
\end{aligned}
$$

※ $${p_1 + p_2 = 1, x_1 + x_2 = x}$$を利用

ポアソン分布

ポアソン分布は
正規分布の$${n \rightarrow \infty}$$の制約条件に加え
$${p \rightarrow 0}$$、$${np = \lamda(定数)}$$
になる時の確率分布

このとき$${p}$$に着目すると
独立な試行をn回行った時に一定時間で
成功確率が$${p = \frac{\lambda(定数)}{n}}$$となっている

ここでは平均と分散は同じ値になるので
パラメーターは正規分布とは違い1種類

確率変数 :一定時間あたりの成功回数 $${X}$$　
パラメーター : 平均値、分散$${\lambda}$$

$$
\begin{aligned}
& P(X = k) = \frac{\lambda^k}{k !}exp( -\lambda )
\end{aligned}
$$

証明は下記を参考

幾何分布

超幾何分布は二項分布と比べると
固定しているものと確率変数を入れ替えるだけであった

二項分布　　->　すべての試行の確率は同じ
超幾何分布　->　試行ごとに次の試行の確率が変化

二項分布と幾何分布の対応も似たようなもので
固定しているものと確率変数を入れ替えるだけである

具体的には、確率変数が
単位試行回数あたりの平均成功回数なのか
単位成功回数あたりの平均試行回数なのか

二項分布　->　成功回数の確率分布 (試行回数は固定)
幾何分布　->　試行回数の確率分布 (成功回数は固定)

確率変数 : （1回成功するまでの）試行回数 $${X}$$　
パラメーター : 成功する確率$${p}$$

$$
\begin{aligned}
& = {}_{k-1} C_{r-1}  p^{r}  (1-p)^{k - r} \\
& = {}_{k-1} C_{1-1}  p^{1}  (1-p)^{k - r} \\
& = p  (1-p)^{k - 1}
\end{aligned}
$$

負の二項分布

負の二項分布は超ウルトラ簡単で
確率変数の制約条件を
（1回成功するまでの）→ （r回成功するまでの）
に一般化するだけである

確率変数 : （r回成功するまでの）試行回数 $${X}$$　
パラメーター : 成功する確率$${p}$$

$$
\begin{aligned}
& P(X = k) \\
& (k-1回の試行で 合計r-1回成功している確率) ×(k回目の試行で成功している確率) \\
& = {}_{k-1} C_{r-1}  p^{r-1}  (1-p)^{(k-1) - (r - 1)} × p \\
& = {}_{k-1} C_{r-1}  p^{r}  (1-p)^{k - r} 
\end{aligned}
$$