統計準1級　第9章　区間推定　解説

Kai.lazykoala

2024年3月16日 17:00

区間推定は想定する母集団分布が正規分布に従っているか、二項分布に従っているかで考え方を変える

残念ながらここに強く言及しているネット記事がないので、念頭に置いて下記読み進めてもらいたい

正規分布に関する推測

確率変数の母集団分布が$${X 〜 N(\mu,\sigma)}$$に従っているとする
この時パラメータは平均と分散であるので、推定するのも平均と分散である

母平均の区間推定

母平均の区間推定は$${z}$$値を計算することで求められる

$${\bar{X} 〜 N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})}$$であるので
まずは標準化をすると

$$
Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}}
$$

の標準正規分布に従い、
これが有意水準5％だと上側2.5％、97.5％を用いて

$$
P\bigg( z_{0.975}(n) \leq Z ( =\frac{\bar{X} - \mu}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}}) \leq z_{0.025}(n) \bigg) = 0.95
$$

かっこの中を$${\mu}$$についてとくと

$$
\bar{X} -1.96\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} \leq \mu \leq \bar{X} + 1.96\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}
$$

母分散がわかっていない時は不偏分散を用いる

母分散の区間推定（1標本）

母分散の区間推定は$${\chi^2}$$値を計算することで求められる

$${\bar{X} 〜 N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})}$$から求められる偏差平方和
を$${ T^2 = \sum_{i}(X_i - \bar{X})^2 }$$とすると

$$
\chi^2 = \frac{\sum_{i}(X_i - \bar{X})^2}{\sigma^2} = \frac{T^2}{\sigma^2}
$$

の$${\chi^2}$$分布に従い、
これが有意水準5％だと上側2.5％、97.5％を用いて

$$
P\bigg( \chi^2_{0.975}(n-1) \leq \chi^2 ( =\frac{T^2}{\sigma^2}) \leq \chi^2_{0.025}(n-1) \bigg) = 0.95
$$

かっこの中を$${\sigma^2}$$についてとくと

$$
\frac{T^2}{\chi^2_{0.025}(n-1)} \leq \sigma^2 \leq \frac{T^2}{\chi^2_{0.975}(n-1)}
$$

母分散の区間推定（2標本）

母分散の区間推定を独立した2標本で行う場合は
分散の比を用いて$${F}$$値を計算することで求められる

$$
F= \frac{\frac{V_1}{\sigma_1^2}}{\frac{V_2}{\sigma_2^2}}
$$

$$
P\bigg( F_{0.975}(degree) \leq F= \frac{\frac{V_1}{\sigma_1^2}}{\frac{V_2}{\sigma_2^2}} \leq F_{0.025}(degree) \bigg) = 0.95
$$

かっこの中を$${\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}}$$についてとくと

$$
\frac{V_1}{V_2} \times \frac{1}{F_{0.025}(degree)} \leq \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} \leq \frac{V_1}{V_2} \times \frac{1}{F_{0.975}(degree)}
$$

二項分布に関する推測

確率変数の母集団分布が$${X 〜 Bin(n,p)}$$に従っているとする
この時パラメータはサンプル数と確率であるので、推定するのもサンプル数と確率である

でもパラメーターの推定方法は正規分布と同じような流れになっているのに注意！！

母比率の区間推定（1標本）

母比率の区間推定は$${z}$$値を計算することで求められる
でも二項分布は$${z}$$値は存在しないので、正規分布への近似をまず行う

$${n}$$が十分に大きいとき
ド・モアブル–ラプラスの定理より
下記のように二項分布が正規分布に近似できる

https://en.wikipedia.org/wiki/De_Moivre%E2%80%93Laplace_theorem

$${X 〜 Bin(n,p)}$$であるので$${\hat{p} = \frac{N_i}{n}}$$とすると
二項分布の平均$${E[N]}$$が$${n \hat{p}}$$、
分散$${V[N]}$$が$${n \hat{p}(1 - \hat{p})}$$となる

この平均と分散を標準正規分布の式に代入すると

$$
\begin{aligned}
Z &= \frac{\bar{X} - \mu}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}}\\{}\\
&= \frac{ n \hat{p} - np}{\sqrt{n\hat{p}(1 - \hat{p})}}
&= \frac{ \hat{p} - p}{\sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}}
\end{aligned}
$$

の標準正規分布に従い、
これが有意水準5％だと上側2.5％、97.5％を用いて

$$
P\bigg( z_{0.975}(n) \leq Z ( =\frac{ \hat{p} - p}{\sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}}) \leq z_{0.025}(n) \bigg) = 0.95
$$

これを変形して

$$
\hat{p} -1.96\sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}} \leq \mu \leq \hat{p} + 1.96\sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}
$$

母比率の差の区間推定（2標本）

母比率の区間推定を独立した2標本で行う場合は
母比率の差を計算することで求められる

1標本二項分布は
平均$${E[N]}$$が$${n \hat{p}}$$、
分散$${V[N]}$$が$${n \hat{p}(1 - \hat{p})}$$となっていたが

2標本二項分布は計算すると（計算は2変数の平均と分散の性質でわかるので省略）
平均$${E[N_1 - N_2]}$$が$${n \hat{p_1} - n \hat{p_2}}$$、
分散$${V[N_1 - N_2]}$$が$${n \hat{p_1}(1 - \hat{p_1}) + n \hat{p_2}(1 - \hat{p_2}) - (-2p_1p_2)(共分散)}$$
となる

$$
P\bigg( z_{0.975}(n) \leq Z ( =\frac{ (\hat{np_1} - \hat{np_2}) - (np_1 - np_2)}{\sqrt{n \hat{p_1}(1 - \hat{p_1}) + n \hat{p_2}(1 - \hat{p_2}) - (-2p_1p_2)}}) \leq z_{0.025}(n) \bigg) = 0.95
$$