倍数と公倍数「端数のある繰り返し複数を統合する場合、ピッチ（倍数、割る数）から端数を引いてみる」

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前回、植木算「植木算は片端入れのパーツで繰り返しにしよう」のところで、中学受験算数の大きなテーマに「繰り返し」があること、そして、そこでは繰り返しの発見や端数の処理が肝になることを伝えました。

倍数や公倍数は何かがその倍数や公倍数単位で繰り返すときの状況の把握に役立ちます。

ただ、中学受験の問題としては、頭からきれいに繰り返すのではなく、もう一歩踏み込んで、途中から繰り返すかたちも多く出題されます。

その途中まで、すなわち端数については２つの異なるとらえかたができます。

①「その端数を切り捨てて、そこから先に繰り返しがある」ととらえる方法

②「その端数に足りない部分をつけたして、そこを含めて繰り返しがある」ととらえる方法

（参考　立体の表面積のとらえ方でもこれと似たような２つの異なるとらえ方を学びました。立方体と直方体「直方体を組み合わせた立体の表面積は、足していくか、引いていくか」）

さて、それでは、以下の端数を含む繰り返しは、どのようにとらえることができるでしょうか。

例１「ａたすと〇で割り切れる」

①でとらえると
（〇ーａ）切り捨てれば、そこから先に〇ごとの繰り返しがある
②でとらえると
ａつけたすと、そこを含めて〇ごとの繰り返しがある

例２「ｂひくと△で割り切れる（≒△でわるとｂあまる）」

①でとらえると
ｂ切り捨てれば、そこから先に△ごとの繰り返しがある
②でとらえると
（△ーｂ）つけたすと、そこを含めて△ごとの繰り返しがある

さて、いままでひとつの繰り返しについて考えてきました。
次に、同時に２つの繰り返しがあるとどうなるか考えてみましょう。
２つの小さい繰り返しを包含する大きい繰り返しがあるはずです。
そうです。その大きい繰り返しのピッチが小さい繰り返しのピッチの最小公倍数なのです。

それでは、その端数処理はどのようになるでしょう。

一般には、双方に共通する繰り返し開始地点を簡単にさがしだす手順はありません。それぞれの繰り返しの開始地点を複数書き出し、シンクロする地点を　”一つ”　見つけ出さなければなりません。（共通する繰り返し開始地点以降は最小公倍数を周期として繰り返します。）

ただ、例外として、双方に共通する繰り返し開始地点を簡単にさがしだす手順があるものがありますので、以下にあげてみます。

例３「ａたすと〇で割り切れて、ａたすと●で割り切れる」

②でとらえて
ａつけたすと、そこを含めて〇と●の最小公倍数▢ごとの繰り返しがある

例４「ｂひくと△で割り切れて（≒△でわるとｂあまり）、ｂひくと▲で割り切れる（≒▲でわるとｂあまる）」

①でとらえて
ｂ切り捨てれば、そこから先に△と▲の最小公倍数▢ごとの繰り返しがある

ここまでは、すぐに気づけます。
受験テクニックとしては、ここからが重要です。

例５「ａたすと〇で割り切れて、Ａたすと●で割り切れ、
　　　かつ、〇ーａ＝●ーＡのとき」

①でとらえて
〇ーａ（＝●ーＡ）切り捨てれば、そこから先に〇と●の最小公倍数▢ごとの繰り返しがある

ex.　３たすと６で割り切れて、５たすと８で割り切れるとき
　　３切り捨てれば、そこから先に２４ごとの繰り返しがある
　　３、２７、５１、７５・・・

例６「ｂひくと△で割り切れて（≒△でわるとｂあまり）、
　　　Ｂひくと▲で割り切れ（≒▲でわるとＢあまり）、
　　　かつ、△ーｂ＝▲ーＢのとき」

②でとらえて
△ーｂ（＝▲ーＢ）つけたすと、そこを含めて△と▲の最小公倍数▢ごとの繰り返しがある

ex.　３ひくと６で割り切れて、５ひくと８で割り切れるとき
　　３つけたすと、そこを含めて２４ごとの繰り返しがある
　　２１、４５、６９、９３・・・

例７「ａたすと〇で割り切れて、
　　　ｂひくと△で割り切れて（≒△でわるとｂあまり）、
　　　〇ーａ＝ｂのとき」

①でとらえて
〇ーａ（＝ｂ）切り捨てれば、そこから先に〇と△の最小公倍数▢ごとの繰り返しがある

ex.　３たすと６で割り切れて、３ひくと８で割り切れるとき
　　３切り捨てれば、そこから先に２４ごとの繰り返しがある
　　３、２７、５１、７５・・・

例８「ａたすと〇で割り切れて、
　　　ｂひくと△で割り切れて（≒△でわるとｂあまり）、
　　　ａ＝△ーｂのとき」

②でとらえて
ａ（＝△ーｂ）つけたすと、そこを含めて〇と△の最小公倍数▢ごとの繰り返しがある

ex.　３たすと６で割り切れて、５ひくと８で割り切れるとき
　　３つけたすと、そこを含めて２４ごとの繰り返しがある
　　２１、４５、６９、９３・・・

先に行ったように、受験テクニックとしては例５から例８が重要です。なぜなら、知っているのと知らないのとでは、最終的な答えにたどり着けるかどうか、またその時間に大きな差がでてしまうからです。

端数のある繰り返し複数を統合する場合には、上記のように複数のパターンがありますが、

繰り返しのピッチ（倍数、割る数）から端数を引いてみると、シンクロする地点をみつけやすいことがある、

くらいに覚えておけばよいでしょう。

「端数のある繰り返し複数を統合する場合、ピッチ（倍数、割る数）から端数を引いてみる」