モンティ・ホール問題

空欄①,②に入る数は何でしょう？

　３つの箱があって、１つが当たり（中に豪華賞品）で、他２つはハズレ（空）である。Ａさん,Ｂさんの２人がいて、Ａさんはどれが当たりでどれがハズレかを知っているが、Ｂさんは知らない。
　いまＢさんが無作為に３つの箱から１つを選んだ。このときＢさんが選んだ箱が当たりである確率は［ ① ］である。
　このときＢさんが選ばなかった２つの箱のうち少なくとも１つはハズレなので、（どれが当たりでどれがハズレかを知っている）Ａさんは（必ず）ハズレの箱を１つ開けて、Ｂさんに見せる。そして、こう言う。「最初に選んだのと違う箱を選び直しても良いよ」と。
　このとき、Ｂさんが初めに選んだ箱でなく、Ａさんが開けたハズレの箱でもない、もう１つの箱が当たりである確率は［ ② ］である。
　さて、この場面でＢさんはどうするのが有利だろうか？　箱を選び直すのが良いか、もしくは初めに選んだものから変えない方が良いか、あるいはどちらも同じか。

　いわゆる「モンティ・ホール問題」です。世紀の難問のように言われていますが、さてどうでしょう？　上のように問われると、すんなりと納得できる人も多いのではないでしょうか？　あるいは、この問題のどこが難しいのかが逆にピンと来なかったりする人もいるのではないでしょうか？

　まず、［ ① ］は $${\dfrac{1}{3}}$$ です。これについては異論は無いでしょう。
　さて、問題は「Ａさんがハズレの箱を開けたことによって、Ｂさんが選んだ箱が当たりである確率が、どう変わるか、あるいは変わらないか」です。
　それについては、Ａさんは「どれが当たりでどれがハズレか」をあらかじめ知っているのですから、Ｂさんが選ばなかった２つの箱のうちどちらをＡさんが開けても、初めにＢさんが選んだ箱が当たりである確率は当初の $${\dfrac{1}{3}}$$ のまま、変わっていません。
　その上で、Ａさんが開けた箱はハズレ（当たりである確率は 0）なので、他に当たりの可能性があるのは、最後の１箱です。それが当たりである確率は $${1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}}$$ となります。これが［ ② ］の値です。
　結局Ｂさんは、箱を「選び直す」のが有利だということになります。そうすれば、当たる確率が $${\dfrac{1}{3}}$$ から$${\dfrac{2}{3}}$$ に２倍になるのですよ。