紙コップの容積を最大にしたい

半径１の円（紙製）を切っておうぎ形を作り、直線部分をくっ付けて円錐形の紙コップを作る。
紙コップの容積を最大にしたいのだが、どう
したら良いだろう？

$${\theta=2\pi r}$$　　  … ①
$${V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h}$$　… ②　　より　$${V = \dfrac{\pi}{3} (1-h^2) h}$$　… ④
$${r^2 + h^2 =1}$$　… ③
④より　$${\dfrac{dV}{dh} = \dfrac{\pi}{3}(1-3h^2)}$$
増減表を書くと、$${h = \dfrac{1}{\sqrt{3}}}$$のとき$${V}$$は最大値$${\dfrac{2 \sqrt{3}}{27} \pi}$$となる。
このとき　③より$${r = \dfrac{\sqrt{6}}{3}}$$　　①より$${\theta = \dfrac{2\sqrt{6}}{3} \pi}$$

※　上のやり方なら高校数学Ⅱの範囲で解ける。①,②,③から$${V}$$を$${\theta}$$で または$${r}$$で表して微分するなら数学Ⅲを使うことになるが、計算がややこしくなるだけなので、お勧めしたいのは上のやり方。
　参考までに、
　　⑤　$${V = \dfrac{\pi r^2}{3} \sqrt{1-r^2}}$$　　→　$${\dfrac{dV}{dr}= \dfrac{\pi r(2-3r^2)}{3\sqrt{1-r^2}} }$$　　→　…
　　⑥　$${V = \dfrac{\theta^2}{24\pi^2} \sqrt{4\pi^2-\theta^2}}$$　→　$${\dfrac{dV}{d \theta}= \dfrac{\theta(8\pi^2-3\theta^2)}{24\pi^2\sqrt{4\pi^2-\theta^2}} }$$　→　…
　▷ ChatGPT にやらせてみたら ⑤ でやってた。
　　（最後は近似値計算）
　▷ ネット検索してみたら ⑥ でやってる人が多かった。
　　（計算を苦にしない人たち）

※　ところで$${\theta = \dfrac{2\sqrt{6}}{3} \pi}$$の単位はラジアンだが、度数法で表すと$${\theta = \dfrac{2\sqrt{6}}{3} \times 180 ^{\circ} \fallingdotseq 2.45 \times 120 ^{\circ}= 294 ^{\circ}}$$となる。言い換えると、円を$${66 ^{\circ}}$$ほど切り取ったときに紙コップの容積が最大になる。