「素数は無数にある」のか？

　現代の暗号化技術の肝は素数にあります。素数には規則性がなくて、ある大きな数が素数かどうかを判定するのは難しい。ある大きな数の約数を探そうとしてスーパーコンピュータを使っても、現実には探せない。だから通信を不正に傍受されても、暗号を解かれる心配はないというわけです。
　ところで、素数は無数にあるのでしょうか？　言い方を変えると、最大の素数はあるのでしょうか？　もし「最大の素数がある」なら「素数の個数は有限個」ということになります。もし「最大の素数がない」なら「素数は無数にある」ことになります。
　では、ここできちんと証明してみましょう。さて、ここからが【問題】です。

【問】「最大の素数はない」ことを示そうとして、次のように論を進めた。

最大の素数があると仮定して、その数を N とする。
ここでN 以下のすべての素数の積に 1 を加えた数を M とする。
すなわち　M＝2×3×…×N＋1　である。
このとき M [ ア ] N である。
また、M を 2 から N までのどんな素数で割っても必ず [ イ ] 余る。
よって、M は素数である 。
しかし、これは「N が最大の素数である」ことに矛盾する。
以上から、背理法によって「最大の素数はない」ことが示された。//

(1)　[ ア ] に適切な不等号を、[ イ ] に適切な数を入れよ。
(2)　この証明が正しいなら「 〇 」をかけ。不備があるなら 下線部 を書き変えて、正しい証明に直せ。

　実はこの証明は、古代ギリシャの数学者ユークリッドが著した「ユークリッドの原論」に載っています。紀元前３世紀ごろに書かれた本です。それを試験問題風にアレンジしました。
　では 《解答・解説》 と行きましょう。

(1)　M＝2×3×…×N＋1　より、まず　M ＞ N が成り立ちます。
　　次に、M を 2 で割ると 1 余ります。M を 3 で割っても  1  余ります。
　　以下同様にして、M を N 以下のどんな素数で割っても必ず 1 余ります。
　　というわけで、答えは　[ア] は ＞ 、[イ] は　1　です。

(2)　では、このことから「M は N より大きい素数」だと言えるかというと、残念ながら、そうとは言えません。
　(1) より「M は N 以下の素数で割り切れない」のですが、「N より大きい素数で割り切れるかもしれない」からです。
　そして、そのどちらの場合であっても「N より大きい素数がある」ことになって「N が最大の素数である」ことに矛盾しますから、結局のところ「最大の素数はない」つまり「素数は無数にある」ことが証明されるわけです。
　たとえば「N＝13 のとき、M＝2×3×5×7×11×13＋1＝30031＝59×509」ですから、M 自体は素数ではありませんが、この場合も N＝13 より大きい素数（59と509）があることになります。
　というわけで、(2) の答えは「M は素数 かまたは N より大きい素数で割り切れる」です。

　ところで、30031 の約数を自力で探せますか？　まぁ難しいでしょうね。私はネット上で上の例を見つけて、ここに載せましたが、自力で例を探そうとして結局あきらめました。話を前に戻しますと、その難しさ故に暗号の安全性が担保されているということです。