
10!秒はどれくらいの長さか?
計算そのものは単純ですが、実際にやってみると意外な感じがするかもしれません。
10!秒はどれくらいの長さか?
1 から n までの整数を掛けた値を「n の階乗」と言い、「n!」と書きます。すなわち、
n!=1×2×3×…×(n−1)×n
です。具体的には、例えば、
3!=1×2×3=6
5!=1×2×3×4×5=120
です。階乗は中学の数学で習うものですが、確率や統計を学ぶ際にもしばしば登場します。ですから、高校でも一応復習する必要があります。
では、ここで【問題】です。
◇ 10!秒はどれくらいの長さか?
[ア] に「1ケタの数」を、[イ] に「漢字1文字」を入れて、等式を完成させてください。
10!秒 = [ア] [イ] 間
↑ ↑
1ケタの数 ┘ └漢字1文字
では、さっそく計算してみましょう。
60秒 60分
┌─┼─┐ ┌───┴───┐
10!=1✖️2✖️3✖️4✖️5✖️6✖️7✖️8✖️9✖️10
| | | ↓
| | |3×3
| | ├┘ |
| ↓ ↓ |
| 7日 24時間|
└──────┬───────┘
6週間
よって「10!秒 = 6週間」です。(上の計算部分は等幅フォントで表示するときれいに見えます)
この問題を生徒にやらせてみたところ、生徒はまず「○分間か、せいぜい○時間くらいだろう」と予想するようです。ところが実際に計算してみると、けっこう長い。びっくり!でしょうか。(俗に「!:びっくりマーク」とも言いますね)
また「42日間」まで計算して、「1ケタの数」にならないと思って、何度も計算し直してみたり、挙句には「問題、間違ってないか?」と言う生徒もいたりします。「週」という単位をつい忘れるみたいで、案外盛り上がります。
1週間は何秒か?
◇ 1週間は何秒か? 次のうちピッタリなのはどれ?
(ア) 7! 秒 (イ) ₁₀P₇ 秒 (ウ) ₁₀C₇ 秒
(エ) ₁₀π₇ 秒 (オ) ₁₀H₇ 秒
※ P:順列 C:組合せ π:重複順列 H:重複組合せ
このままで試験問題にできそうですね。!, P , C , π , H の計算ができるかどうかを測る問題として。
なお、高校数学の教科書には π と H の記号は入っていないので、その場合は
(エ) 10⁷ 秒 (オ) ₁₀₊₇₋₁C₇ 秒
と書いても同じことです。
(※)π:重複順列、H:重複組合せについての説明が こちら にあります。よろしければ、ご覧ください。)
では、計算してみましょう。
1週間=7日= 7 × 24 時間= 7 × 24 × 60 分
= 7 × 24 × 60 × 60 秒
┌ ┐ ┌ー┐ ┌ーーー┐
= 7 × 3 × 8 × 10 × 6 × 5 × 4 × 3 秒
↓ ← ー ー ー ー ー ー ← ┘
=7 × 9 × 8 × 10 × 6 × 5 × 4 秒
↓ ← ー ー → ↓
=10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 秒
= ₁₀P₇ 秒
《答え》は (イ) の ₁₀P₇ 秒 です。
前の問題「10!秒はどれくらいの長さか?」をやった後であれば、「10!秒=6週間」から「1週間=10!/6 秒=10!/3! 秒」と考えて分かるかもしれませんね。
なぜ2月だけ日数が少ないのか?
1ヶ月の日数は30日か31日が基本なのに、なぜか2月だけは28日。うるう年でも29日。なんだかバランスが悪いような気がしないか?
1年365日(うるう年は366日)を12ヶ月に分けるのに、もっとバランス良い分け方がある。例えば、2月・4月・6月・8月・10月・12月を30日にして、1月・3月・5月・7月・9月を31日にして、11月についてはうるう年は31日、うるう年でなければ30日としても良いはずだ。
現状のカレンダーの不自然さは2月だけ日数が少ないことだけではない。日数が30日の月と31日の月の並び順に規則性がないこともそうだ。どういうわけか、7月と8月のところだけ31日の月が続いている。なぜなんだろう? そこには何か深い訳があるのだろうか?
さて、なぜ2月だけ日数が少ないのか? なぜ日数が30日の月と31日の月の並び順に規則性がないのか?
では、ここで正解を発表しよう。正解は、
春休み(3月終~4月初)、夏休み(7月終~8月末)、冬休み(12月終~1月初)が少しでも長くなるように。
そう考えると、とても良い配置だよね。2学期が始まったところだけれど、冬休みが待ち遠しい。
◇ ◇ ◇
〜 単位の話 〜
▷ 単位って大事
+ 恐竜が絶滅したのは紀元前何世紀ごろ?
▷ 光は1秒間に地球を7周半回るのか?
▷ 10!秒はどれくらいの長さか?
▷ 原子から宇宙までを1つの数直線に表してみよう