指定区間の分離面積を等分する3次スプライン曲線（スプライン曲線による補間ー３）

これが知りたかったので自分で考えました。
なにかに載ってるのをご存知の方は教えてください。

以前と同様にx-y平面には(x1,y1),・・・,(xN,yN)のN点があるとする。( xj+1 > xj )
スプライン曲線S(x)は(xj,yj)を始点とする多項式Sj(x)を持つ区分関数とし、

であるとする。
この関数S(x)は
１．すべての境界において値が一致する。
２．すべての境界において隣接する関数の微分値が一致する。
３．すべての境界において隣接する関数の2回微分値が一致する。
４．すべての区間において線分と成す面積が0になる。 
これらを満たすものとする。
また区間距離をhj、選点差分をrjとする。

同様に選点での2次導関数の値ujを仮定し、aj, bjは

ここからが問題。
数式で結論までは行ったけど合ってるかどうかはわからない。まだ検証してないです。
購入された方は必要であればPDF化したものを送ります。