2025.2.22 数学｜撹乱順列・望遠鏡和・ニュートンの一般化二項級数
タイトルにもある通り、今回は次の3つをまとめる。
計算速度向上のために、アクチュアリー試験に向けてしっかりと覚えておきたい。
撹乱順列（完全順列、トレーズ）
望遠鏡和
二項級数
1. 撹乱順列（完全順列、トレーズ）
完全順列やトレーズとも呼ばれ、これらの用語で記載している参考書もよく見かける(青チャートとか)。
しかしながら、本稿では撹乱順列と呼ぶことにする。後述する撹乱順列の意味と「かき乱す」という撹乱*¹の辞書的意味がマッチしており、直感的に理解できると感じたからだ。
$${\tiny{*1\ 撹乱を「カクラン」と読むのは慣用的用法。正確には「コウラン」と読むらしい。}}$$
端的に言うと、撹乱順列は「完全に混ぜられた順列」である。より正確には「i番目の数字がiでない」順列である。
1〜n(nは2以上)の数字を並べ替えてできる撹乱順列(即ち、1番目が1でなく、2番目が2でなく、⋯、n番目がnでない順列)の個数$${d_n}$$は下式で求められる：
$$
\begin{align*}{}
d_n&=n! \left( \displaystyle\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots+(-1)^n\frac{1}{n!}\right)
\end{align*}
$$
つまり、1〜nを並び替えて撹乱順列となる確率$${p_n}$$は
$$
\begin{align*}{}
p_n&=\displaystyle\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots+(-1)^n\frac{1}{n!} \\
\ &=\displaystyle\sum_{k=2}^n (-1)^k\frac{1}{k!} \\
\ &=\displaystyle\sum_{k=0}^n (-1)^k\frac{1}{k!}
\end{align*}
$$
である。
逆に、1回以上数字が一致する（i番目がiになる）順列の個数$${1-d_n}$$は
$$
\begin{align*}{}
1-d_n&=n! \left( \displaystyle\frac{1}{1!}-\frac{1}{2!}+\cdots+(-1)^{n+1}\frac{1}{n!}\right)
\end{align*}
$$
であり、その確率$${q_n}$$は
$$
\begin{align*}{}
q_n&=\displaystyle\frac{1}{1!}-\frac{1}{2!}+\cdots+(-1)^{n+1}\frac{1}{n!} \\
\ &=\displaystyle\sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}\frac{1}{k!}
\end{align*}
$$
である。
ここで、指数関数$${e^x}$$のマクローリン展開
$$
\begin{align*}{}
e^x &=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}
\end{align*}
$$
を考える。上式に$${x=-1}$$を代入すれば
$$
\begin{align*}{}
e^{-1} &=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!}
\end{align*}
$$
を得る。よって、$${p_n}$$および$${q_n}$$は
$$
\begin{align*}{}
p_n&=\displaystyle\sum_{k=0}^n (-1)^k\frac{1}{k!}\approx e^{-1} \\
q_n&=\displaystyle\sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}\frac{1}{k!}\approx 1-e^{-1}
\end{align*}
$$
と近似的に計算できる。
2. 望遠鏡和
一般に、望遠鏡和とは下記のような計算を指す：
$$
\begin{align*}{}
&\displaystyle\sum_{k=\text{初}}^\text{末} \left(f(k+1)-f(k)\right) \\
&=f(\text{末}+1)-f(\text{末})+f(\text{末})-f(\text{末}-1)+\cdots+f(\text{初}+1)-f(\text{初}) \\
&=f(\text{末}+1)-f(\text{初})
\end{align*}
$$
有名なのは、部分分数分解$${\displaystyle\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}}$$を用いて$${\displaystyle\sum_k\frac{1}{k(k+1)}}$$を求める問題である。
部分分数分解の他にも、望遠鏡和を用いるための手法を例題を用いて紹介する。
例題1
$${\displaystyle\sum_{k=2}^n k(k+1)}$$
$$
\begin{align*}{}
(k+2)(k+1)k-(k+1)k(k-1)=3k(k+1)
\end{align*}
$$
を用いれば、
$$
\begin{align*}{}
&\displaystyle\sum_{k=2}^n k(k+1) \\
&=\displaystyle\frac{1}{3}\sum_{k=2}^n \left((k+2)(k+1)k-(k+1)k(k-1)\right) \\
&=\displaystyle\frac{1}{3} \left((n+2)(n+1)n-3\cdot2 \cdot 1 \right) \\
\end{align*}
$$
例題2
$${\displaystyle\sum_{k=1}^n k\cdot k!}$$
$$
\begin{align*}{}
&\displaystyle\sum_{k=1}^n k\cdot k! \\
&=\displaystyle\sum_{k=1}^n (k+1-1)\cdot k! \\
&=\displaystyle\sum_{k=1}^n ((k+1)!-k!) \\
&=(n+1)!-1!
\end{align*}
$$
3. 二項級数
$${\alpha\in\mathbb{R}}$$に対し、一般化された二項係数$${\dbinom{\alpha}{k}}$$を以下で定義する：
$$
\begin{align*}{}
\dbinom{\alpha}{k}=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)}{k!}
\end{align*}
$$
このとき、
$$
\begin{align*}{}
(1+x)^\alpha = \displaystyle\sum_{k=0}^\infty \dbinom{\alpha}{k} x^k
\end{align*}
$$
を二項級数という。ここで$${x=-z,\alpha=-\beta}$$として
$$
\begin{align*}{}
\displaystyle\frac{1}{(1-z)^\beta} = \sum_{k=0}^\infty \dbinom{\beta+k-1}{k} z^k
\end{align*}
$$
を得る。上式の変形で、
$$
\begin{align*}{}
\dbinom{-\beta}{k}=(-1)^k\dbinom{\beta+k-1}{k}
\end{align*}
$$
を用いた。
参考サイト
■ 撹乱順列
■ 望遠鏡和
■ 二項級数