量子コンピューティングを齧る ユニタリ行列
ようやくヘルベルト空間にジャック・インできるかもしれない。コンコンコン。がちゃ。あ、すみません。部屋を間違えました。
ようやくヒルベルト空間にジャック・イ…まだ準備が足りていないらしい。
ヒルベルト空間で動き回るには内積、演算子、ユニタリ行列の「3種の小道具」と呼ばれてるとかいないとかをとにかく手に入れないければならないらしい。
このうち内積はヒルベルト空間を勉強したついでにやっつけた。
実は気が急いて先に演算子、本名「量子演算子」のほうにも手を付けてしまっている。
字面の通り二人のおそらくは女子。気まぐれなリョウコと彼女との仲を邪魔するエンザンコのことだ。
リョウコがもつれたり重ね合ったりなんかしてるのを覗こうとすると横からエンザンコが現れ「ちょっとー」とかなんとか言って止めさせてしまう。
「せっかくいいとこだったのによ。けっ」なんて文句を垂れようものならシュレディンガーさんが出てきて箱に閉じ込められる。その後は次の好き者っていうかもの好きが覗こうとするまで生死をさまようって仕組みだ。
そもそもリョウコの家はガードが堅い。パウリとアダマールって門番ががっちり見張ってやがる。
こいつらはユニタリ養成所出身の手練れどもだ。
養成所はとてつもなく厳しいところって噂だけは聞く。テレビでおなじみ「※特殊な訓練を受けています」というテロップが出たときにはたいていここの出身者だと思ったら大間違いだ。
そんなわけで（文脈っ）ユニタリ行列に並ぶことにした。潜入とかじゃないんだね。地道にこつこつ。
ユニタリ行列は、複素行列の中でも特に「長さと角度を保存する」という重要な性質を持つ行列です。
1. 定義
行列Uに対して、U†U = UU† = I となる行列
・U†はUの共役転置行列、Iは単位行列
・つまり、逆行列が共役転置行列と等しい
2. 重要な性質
・行列式の絶対値が1
・すべての特異値が1
・固有値の絶対値が1
・列ベクトルは互いに正規直交
・行ベクトルも互いに正規直交
・長さを保存する（ベクトルのノルムを変えない）
3. 具体例
# 2×2のユニタリ行列の例
[1/√2 1/√2]
[-1/√2 1/√2]
# 別の例（位相を含む）
[cos(θ) -sin(θ)]
[sin(θ) cos(θ)]
4. 応用
・量子力学での量子状態の時間発展
・信号処理でのフーリエ変換
・量子コンピュータでの量子ゲート
・座標変換や回転行列（実数の場合は直交行列）
5. 実用的な観点
・数値計算での安定性が高い
・誤差が蓄積しにくい
・逆行列が容易に計算可能（共役転置を取るだけ）
ユニタリ行列は特に量子力学や量子コンピュータの理論で中心的な役割を果たします。量子状態の操作はすべてユニタリ変換として表現されるためです。
長さと角度を…保つ…だと…若さの秘訣じゃねーか…（下ネタかよ）。パウ公とアダのやつ。意外とやるな。
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