数理にふれてみる Vol.5 ○進数で考えてみる。
整数上の直線と虚数の関係を模索して、2進数の整数に無理やり$${i}$$を当てはめてみることを試みた。
ここでは仮に$${0<i<1}$$として、$${\{0,i,1\}}$$の３進数のようにしてできた数列を考えてみる。
4桁の３進数は0から$${2^4-1=15}$$までの$${3^4=81}$$個の数になる。
&0000: 0 + 0i
&000i: 0 + 1i
&0001: 1 + 0i
&00i0: 0 + 2i
&00ii: 0 + 3i
&00i1: 1 + 2i
&0010: 2 + 0i
&001i: 2 + 1i
&0011: 3 + 0i
&0i00: 0 + 4i
&0i0i: 0 + 5i
&0i01: 1 + 4i
&0ii0: 0 + 6i
&0iii: 0 + 7i
&0ii1: 1 + 6i
&0i10: 0 + 0i
&0i1i: 2 + 5i
&0i11: 3 + 4i
&0100: 4 + 0i
&010i: 4 + 1i
&0101: 5 + 0i
&01i0: 4 + 2i
&01ii: 4 + 3i
&01i1: 5 + 2i
&0110: 6 + 0i
&011i: 6 + 1i
&0111: 7 + 0i
&i000: 0 + 8i
&i00i: 0 + 9i
&i001: 1 + 8i
&i0i0: 0 + 10i
&i0ii: 0 + 11i
&i0i1: 1 + 10i
&i010: 2 + 8i
&i01i: 0 + 9i
&i011: 3 + 8i
&ii00: 0 + 12i
&ii0i: 0 + 13i
&ii01: 1 + 12i
&iii0: 0 + 14i
&iiii: 0 + 15i
&iii1: 1 + 15i
&ii10: 2 + 12i
&ii1i: 2 + 13i
&ii11: 3 + 12i
&i100: 4 + 8i
&i10i: 4 + 9i
&i101: 5 + 8i
&i1i0: 4 + 10i
&i1ii: 4 + 10i
&i1i1: 5 + 10i
&i110: 6 + 8i
&i11i: 6 + 9i
&i111: 7 + 8i
&1000: 8 + 0i
&100i: 8 + 1i
&1001: 9 + 0i
&10i0: 8 + 2i
&10ii: 8 + 3i
&10i1: 9 + 2i
&1010: 10 + 0i
&101i: 10 + 1i
&1011: 11 + 0i
&1i00: 8 + 4i
&1i0i: 8 + 5i
&1i01: 9 + 4i
&1ii0: 8 + 6i
&1iii: 8 + 7i
&1ii1: 9 + 6i
&1i10: 10 + 4i
&1i1i: 10 + 5i
&1i11: 11 + 4i
&1100: 12 + 0i
&110i: 12 + 1i
&1101: 13 + 0i
&11i0: 12 + 2i
&11ii: 12 + 3i
&11i1: 13 + 2i
&1110: 14 + 0i
&111i: 14 + 1i
&1111: 15 + 0i0..15の16個の整数部と0i..15iまで16個の虚数部があるので、16×16の256種類の数があるのだが、この３進数では81種類しかないので、これだと抜けが存在する。なので、iの負数にあたるようなjなどををいれて4進数にしてみたらどうか。
でも単純に負数をいれると虚数部の範囲が２倍になるのでどうしたものか。
そもそも、&1000=8で桁が埋まってしまっていたら&i000を使った数は表せない。
たとえば、$${\{0,i,1\}}$$に一つxを追加して、&xxx= 7 + 7i が成立するように考えてみよう。
xが1+iということにしたらどうだろうか。
ということで、仮に$${0 < i < 1 < x(=1+i)}$$として$${\{0,i,1,x(=1+i)\}}$$で考えてみた。
今回は$${4^4 = 256}$$だとちょっと多いので３桁の$${4^3 = 64}$$して確認。
&000: 0 + 0i + 0x : = 0 + 0i
&00i: 0 + 1i + 0x : = 0 + 1i
&001: 1 + 0i + 0x : = 1 + 0i
&00x: 0 + 0i + 1x : = 1 + 1i
&0i0: 0 + 2i + 0x : = 0 + 2i
&0ii: 0 + 3i + 0x : = 0 + 3i
&0i1: 1 + 2i + 0x : = 1 + 2i
&0ix: 0 + 2i + 1x : = 1 + 3i
&010: 2 + 0i + 0x : = 2 + 0i
&01i: 2 + 1i + 0x : = 2 + 1i
&011: 3 + 0i + 0x : = 3 + 0i
&01x: 2 + 0i + 1x : = 3 + 1i
&0x0: 0 + 0i + 2x : = 2 + 2i
&0xi: 0 + 1i + 2x : = 2 + 3i
&0x1: 1 + 0i + 2x : = 3 + 2i
&0xx: 0 + 0i + 3x : = 3 + 3i
&i00: 0 + 4i + 0x : = 0 + 4i
&i0i: 0 + 5i + 0x : = 0 + 5i
&i01: 1 + 4i + 0x : = 1 + 4i
&i0x: 0 + 4i + 1x : = 1 + 5i
&ii0: 0 + 6i + 0x : = 0 + 6i
&iii: 0 + 7i + 0x : = 0 + 7i
&ii1: 1 + 6i + 0x : = 1 + 6i
&iix: 0 + 6i + 1x : = 1 + 7i
&i10: 2 + 4i + 0x : = 2 + 4i
&i1i: 2 + 5i + 0x : = 2 + 5i
&i11: 3 + 4i + 0x : = 3 + 4i
&i1x: 2 + 4i + 1x : = 3 + 5i
&ix0: 0 + 4i + 2x : = 2 + 6i
&ixi: 0 + 5i + 2x : = 2 + 7i
&ix1: 1 + 4i + 2x : = 3 + 6i
&ixx: 0 + 4i + 3x : = 3 + 7i
&100: 4 + 0i + 0x : = 4 + 0i
&10i: 4 + 1i + 0x : = 4 + 1i
&101: 5 + 0i + 0x : = 5 + 0i
&10x: 4 + 0i + 1x : = 5 + 1i
&1i0: 4 + 2i + 0x : = 4 + 2i
&1ii: 4 + 3i + 0x : = 4 + 3i
&1i1: 5 + 2i + 0x : = 5 + 2i
&1ix: 4 + 2i + 1x : = 5 + 3i
&110: 6 + 0i + 0x : = 6 + 0i
&11i: 6 + 1i + 0x : = 6 + 1i
&111: 7 + 0i + 0x : = 7 + 0i
&11x: 6 + 0i + 1x : = 7 + 1i
&1x0: 4 + 0i + 2x : = 6 + 2i
&1xi: 4 + 1i + 2x : = 6 + 3i
&1x1: 5 + 0i + 2x : = 7 + 2i
&1xx: 4 + 0i + 3x : = 7 + 3i
&x00: 4 + 4i + 0x : = 4 + 4i
&x0i: 4 + 5i + 0x : = 4 + 5i
&x01: 5 + 4i + 0x : = 5 + 4i
&x0x: 4 + 4i + 1x : = 5 + 5i
&xi0: 4 + 6i + 0x : = 4 + 6i
&xii: 4 + 7i + 0x : = 4 + 7i
&xi1: 5 + 6i + 0x : = 5 + 6i
&xix: 4 + 6i + 1x : = 5 + 7i
&x10: 6 + 4i + 0x : = 6 + 4i
&x1i: 6 + 5i + 0x : = 6 + 5i
&x11: 7 + 4i + 0x : = 7 + 4i
&x1x: 6 + 4i + 1x : = 7 + 5i
&xx0: 4 + 4i + 2x : = 6 + 6i
&xxi: 4 + 5i + 2x : = 6 + 7i
&xx1: 5 + 4i + 2x : = 7 + 6i
&xxx: 4 + 4i + 3x : = 7 + 7i
0..7の8個の整数部と0i..7iまでの8個の虚数部があるので、8×8の64種類の数は網羅された。
ただ、大小の矛盾が生じる。
なぜかというと、$${i}$$を疑似少数$${\{F | 0 < F < 1 \}}$$としたときにはっきりと分かる。
$${\{0 < F < 1 < x (=1+F)\}}$$として大小関係は成立している。これで$${\{0,F,1,x\}}$$として表すと、以下のようになる。
&000: 0 + 0F + 0x : = 0 + 0F
&00F: 0 + 1F + 0x : = 0 + 1F
&001: 1 + 0F + 0x : = 1 + 0F
&00x: 0 + 0F + 1x : = 1 + 1F
&0F0: 0 + 2F + 0x : = 0 + 2F
&0FF: 0 + 3F + 0x : = 0 + 3F
&0F1: 1 + 2F + 0x : = 1 + 2F
&0Fx: 0 + 2F + 1x : = 1 + 3F
&010: 2 + 0F + 0x : = 2 + 0F
&01F: 2 + 1F + 0x : = 2 + 1F
&011: 3 + 0F + 0x : = 3 + 0F
&01x: 2 + 0F + 1x : = 3 + 1F
&0x0: 0 + 0F + 2x : = 2 + 2F
&0xF: 0 + 1F + 2x : = 2 + 3F
&0x1: 1 + 0F + 2x : = 3 + 2F
&0xx: 0 + 0F + 3x : = 3 + 3F&00x: 0 + 0F + 1x : = 1 + 1F
&0F0: 0 + 2F + 0x : = 0 + 2F
の桁上りの時点ですでに成立しない。
$${2F > 1+1F}$$とは、つまり$${F>1}$$の場合となり、疑似整数Fの定義$${0 < F < 1}$$に矛盾する。
それに、n倍の$${F}$$が1以上であることが確定していないということもある。
組み合わせは上手くいったけど大小関係に矛盾が生じてしまった。
現状では○進数は整数のみに適用される定義みたいのようだ。
たぶん大小関係に関する定義が足りないんだと思う。
実数以上のときにも適用できる進数定義は無いのだろうか。
少し調べてみるとアーベルがいろいろ理論を考えていたような感じではあるが難しそうだ。
今回はここまで。
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