極座標のラプラシアン 1

ラプラシアンの極座標変換($${\nabla^2(x, y, z)~\Rightarrow~\nabla^2(r, \theta, \phi)}$$)は量子論の初歩で出てくる計算だがこれが非常に煩雑でわかりづらい。また方法がわかっていても計算に時間がかかってしまう。（私は6時間かかった）。計算が長いことはミスが起こりやすくなることでもあり諸学者の大きな壁になっていると予想している。暗記するにしても単純な式でないため苦労が伴う。よって、細かい計算過程の例を示しておこうと思う。

丸暗記
手っ取り早い方法は丸暗記である。

$$
\nabla^2(r, \theta, \phi)~=~\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial~r}r^2\frac{\partial}{\partial~r}+\frac{1}{r^2\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial\theta}\sin{\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}+\frac{1}{r^2\sin^2{\theta}}\frac{\partial^2}{{\partial~\phi}^2}
$$

しかし、これではいざ忘れてしまった際にお手上げとなる。