極座標のラプラシアン３

直行曲線座標を利用するのが式の構造がわかりやすく納得感があると思う。
まず

$$
dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2\sin^2{\theta} d\phi^2　= {ds_1}^2 + {ds_2}^2 +  {ds_3}^2
$$

を満たす$${ds_1,ds_2,ds_3}$$の組は

$$
ds_1 = dr \\
ds_2 = rd\theta \\
ds_3 = r\sin{\theta}d\phi
$$

である。