非ユークリッド幾何学：曲がった空間の数学

私たちは普段、ユークリッド幾何学に基づいて空間を認識しています。直線はどこまでも伸び、平行線は決して交わらない、という世界観です。しかし、19世紀に登場した非ユークリッド幾何学は、この常識を覆し、曲がった空間や、平行線が交わる可能性を示しました。このコラムでは、非ユークリッド幾何学の誕生、基本的な概念、そして現代物理学への応用について解説します。

1. ユークリッド幾何学の基礎と平行線公準

ユークリッド幾何学は、古代ギリシャの数学者ユークリッドによって確立され、長らく数学の基礎として君臨してきました。その中心となるのは、いくつかの公理と公準です。特に、平行線公準は以下のように定義されています。

• 平行線公準: 「一つの直線外の点を通って、その直線に平行な直線はただ一つだけ引ける。」

この公準は、直感的には正しいように思えますが、他の公理や公準に比べて複雑で、長らく数学者たちの頭を悩ませてきました。

2. 非ユークリッド幾何学の誕生：平行線公準の否定

19世紀、数学者たちは、平行線公準を否定しても矛盾のない幾何学が存在することを発見しました。これが非ユークリッド幾何学の誕生です。代表的なものとして、以下の2つがあります。

• リーマン幾何学: 球面上の幾何学。この空間では、平行線は必ず交わります。例えば、地球儀上で、赤道に平行な線（経線）は北極と南極で交わります。また、三角形の内角の和は180度よりも大きくなります。

• ロバチェフスキー幾何学（双曲幾何学）: 双曲面上の幾何学。この空間では、一つの点を通って、ある直線に平行な直線が複数引けます。また、三角形の内角の和は180度よりも小さくなります。

これらの幾何学は、ユークリッド幾何学とは異なる性質を持ちながらも、論理的に矛盾がないことが証明されました。

3. 非ユークリッド幾何学の概念：曲率と測地線

非ユークリッド幾何学を理解する上で重要な概念が、曲率と測地線です。

• 曲率: 空間の曲がり具合を表す量。ユークリッド幾何学の空間は曲率が0であり、リーマン幾何学の空間は正の曲率（球面的）、ロバチェフスキー幾何学の空間は負の曲率（双曲面的）を持ちます。

• 測地線: 2点間を結ぶ最短距離の線。ユークリッド幾何学では直線ですが、非ユークリッド幾何学では曲がった線になります。例えば、地球儀上で2点間を結ぶ最短距離の線は、大円（測地線）となります。

4. 非ユークリッド幾何学と現代物理学：相対性理論への応用

非ユークリッド幾何学は、単なる数学的な理論にとどまらず、現代物理学に大きな影響を与えました。特に、アインシュタインの一般相対性理論では、重力によって空間が歪むという考え方を導入しています。

• 一般相対性理論: 重力は質量によって時空間が歪むことで生じると説明されます。この歪んだ空間の記述には、非ユークリッド幾何学が用いられます。例えば、ブラックホールの周囲の空間は大きく歪んでおり、光も曲がって進みます。

5. 異なる幾何学がもたらす空間認識への影響

非ユークリッド幾何学の登場は、私たちの空間認識に大きな変化をもたらしました。私たちが普段認識している空間は、実はユークリッド幾何学で記述できる近似的なものであり、宇宙規模では、より複雑な幾何学で記述する必要があることが明らかになりました。

• 空間認識の再定義: 非ユークリッド幾何学は、私たちの直感的な空間認識を問い直し、宇宙の真の姿を理解するための重要なツールとなっています。

まとめ：非ユークリッド幾何学の重要性

非ユークリッド幾何学は、数学の論理的な探求を通じて、私たちの空間認識を根本から変えた画期的な発見でした。それは、数学の純粋な理論が、現代物理学の発展に不可欠な役割を果たすことを示しています。