難問数学問題 - あなたの答えはどうだろうか？

ルール:
- 答えは記載しない
- あなたなりの答えを考えてみる
- ヒントを元に君の意見を解き放て!!

数値解析の問題

問題:
有限要素法を用いて次の二次元ポアソン方程式を解きなさい。但し、問題領域は単位正方形 ([0, 1] \times [0, 1]) です。
[ -\nabla^2 u = f(x, y) ]
ここで、境界条件は以下の通りです。
[ u|{x=0} = u|{x=1} = u|{y=0} = u|{y=1} = 0 ]
(f(x, y) = 2(x^2 + y^2)) とする。

解答のヒント:

1. 単位正方形を等間隔（例: (4 \times 4) メッシュ）に分割してください。

2. 重み関数として標準形関数を使用してください。

3. 各要素での局所変数と全体座標系における変数の関係を明確にしてください。

4. 全系の剛性行列と荷重ベクトルを組み立てて、境界条件を適用してください。

5. 線型方程式系を解いて数値解を求めてください。

物理学（量子力学）の問題

問題:

有限な深さの1次元ポテンシャル井戸において、井戸の深さ (V_0)、井戸の幅 (a) とする。ポテンシャルは次のように与えられる。

[ V(x) = \begin{cases} 0 & |x| > \frac{a}{2} \ -V_0 & |x| \leq \frac{a}{2} \end{cases} ]

このポテンシャルにおける束縛状態のエネルギー固有値を求めなさい。

解答のヒント:

1. シュレディンガー方程式を境界条件に注意しながら解く。

2. 連続性条件（波動関数とその導関数の連続性）を境界で使う。

3. 関数形を適用してトランセンデンタル方程式を得る。

4. 数値的に解を求める。

---

統計学の問題

問題:

次のデータセットに対して、重回帰分析を行いなさい。重回帰モデルとして次を仮定する：

[ Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \epsilon ]

データセット： [ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline Y & X_1 & X_2 \ \hline 12 & 1 & 4 \ 17 & 2 & 5 \ 14 & 3 & 6 \ 18 & 4 & 7 \ 15 & 5 & 8 \ \hline \end{array} ]

解答のヒント:

1. 正規方程式を立て、最小二乗法を用いてパラメータ (\beta_0), (\beta_1), (\beta_2) を求める。

2. 回帰係数の信頼区間を求める。

3. モデルの適合度（(R^2)値）を計算する。

物理学（量子力学）

ハーモニックオシレーターのシュレーディンガー方程式を解く：

標準的な量子調和振動子の時間に依存しないシュレーディンガー方程式は以下のようになります。

[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 \psi(x) = E \psi(x) ]

ここで、(\hbar) はプランク定数、(m) は質量、(\omega) は角振動数、(\psi(x)) は波動関数、そして (E) はエネルギー固有値です。主量子数 (n) に対するエネルギー固有値と波動関数を求めてください。