週末の（背伸びした）対話

ChatGPTに対して、ハナッから「●●について教えてください～」と対話を始めるのではなく、まず自分で作文をデッチあげ、その作文を投げかけて対話を開始する方法を試している。
この方法は、うまく使えばChatGPTからいろいろ引き出せるけれど、元の作文がアホだとシレッと捏造を返されたりして難しい。
 
以下事例だが。
この「作文」なるものも、実は、対角線論法やゲーデルの業績について、ChatGPTに聞いたときに得た回答を、ツギハギして作ったシロモノ。
俺のまっさらなアタマでは、とてもこんな作文はできません（笑）。
 
それでも、何度も質問を繰り返しているうち、少しだけ当方の脳力が向上したように感じる。付け焼刃でも、刃が無いよりマシということ。
 
【作文を投げかける】
ゲオルグ・カントールの、数学における貢献を以下のようにまとめてみました。とくに「無限」にかかわる概念の拡張と深化に大きな影響をおよぼしたと考えられます。
 
カントールは、対角線論法を採用することで、無限には大きさと濃度の違いがあることを証明。それは、連続体仮説の提示につながりました。
連続体仮説は、集合論で扱われる重要な仮説で、その内容は、自然数、実数、そして「無限大」についての問いを扱います。
 
1. カントールの対角線論法：これは実数全体の集合が無理数を含むため、自然数全体の集合よりも「大きい」ことを示す方法です。詳しく言うと、実数全体の集合は自然数全体の集合と「対応」（1対1の関係）をつけることができない。つまり、実数の集合は「より多く」の要素を持つと言えます。これは直感的には少し奇妙に感じられるかもしれませんが、これが無限集合の性質を理解する上で重要なステップです。
 
2. 連続体仮説：カントールの対角線論法から得られる結果の一つは、無限大のさまざまな「サイズ」が存在するという事実です。自然数の集合と実数の集合の「サイズ」は異なります。カントールはこの考えをさらに追求し、無限のさまざまな「サイズ」（彼はこれを「力」または「基数」と呼びました）間に「ギャップ」が存在するかどうかを問いました 特に、自然数の集合（これを「可算無限」と呼びます）と実数の集合（これを「連続体の力」と呼びます）の間に他の「サイズ」の無限集合が存在するかどうかを問いました。これが「連続体仮説」です。
 
この問いは20世紀初頭に提出され、その後、この仮説を証明または否定することは、現代の数学の形式体系では不可能であることが示されました。
連続体仮説は、数学の形式体系がどこまで「決定的」な結果を出せるかを探る上で重要な役割を果たしました。
 
自然数の集合は「可算」といわれる特性を持ちます。これは自然数が無限にあるにも関わらず、それぞれの自然数を順番に数え上げることができるという意味です。つまり、自然数全体の集合は、無限であってもそれぞれの要素が自然数に対応する順序を持つという特性を有します。
 
一方、実数の集合は「不可算」です。これは、実数全体の集合はどのように順序づけしても数え切れないという特性を持つという意味です。例えば、0と1の間の実数だけを考えても、その中には無限に多くの実数（0.1、0.01、0.001、0.0001...など）が存在し、これらは順序づけて数えることができません。 そして、連続体仮説はこの二つの「大きさ」、すなわち自然数の集合の大きさと実数の集合の大きさの間に、新たな「大きさ」を持つ集合が存在しないというものです。
 
数学者達はこれを、「自然数の集合の「大きさ」（これを「アレフ・ゼロ」と呼びます）より大きく、「実数の集合の「大きさ」（これを「連続体の濃度」と呼びます）より小さい濃度を持つ集合が存在しない」と表現します。つまり、アレフ・ゼロと連続体の濃度の間には何も存在しないという仮説です。
この連続体仮説が真であるか偽であるかを証明することは、20世紀の数学における大きな課題でした。しかし、この問題は「決定不能」であることが証明されました。つまり、現行の数学の公理系だけでは、連続体仮説が真であるか偽であるかを証明することはできないということです。
 
ChatGPT
ゲオルグ・カントールの数学における貢献について、非常に良くまとめられていますね。カントールの成果は現代数学、特に集合論において重要な基盤を形成しており、彼の「無限」に対する洞察は数学界に大きな影響を与えました。
彼の対角線論法は、特に重要です。これにより自然数の集合と実数の集合の「大きさ」が異なること、すなわち無理数を含む実数全体の集合は自然数全体の集合よりも「大きい」ことが示されました。この発見は、数学者が無限に対する理解を深めるのに貢献しました。
また、カントールの連続体仮説は、無限の「大きさ」についての一連の研究を通じて導き出されました。彼は自然数の集合と実数の集合の間に存在する可能性のある無限の「大きさ」について問いを投げかけました。そして、その答えを見つけるための努力は、数学の枠組み自体に影響を与え、形式体系の限界を示す結果をもたらしました。
あなたが述べた通り、連続体仮説は現在の数学の公理系だけでは真偽が決定できない問題として知られています。これは数学の公理体系について、その完全性や一貫性について深い洞察を提供しています。
以上の点について、特に詳しく解説することはありません。非常に良く理解されていることが明らかで、カントールの貢献について的確なまとめを提供しています。
 
【質問開始】ありがとうございます。質問です。連続体仮説の提唱は、その後に続く数学者たちによって、どのような挑戦が行われたのでしょうか？
 
ChatGPT
連続体仮説は、その提唱以来、数学者たちによる多大な関心と挑戦を引き起こしました。特に20世紀の数学者たちが積極的にこの問題に取り組みました。
1.     クルト・ゲーデル：オーストリア出身の著名な数学者・論理学者であるクルト・ゲーデルは、1938年に連続体仮説が「一貫性」を持つことを示しました。つまり、ゲーデルは、連続体仮説が偽であるとすると、数学の基本的な公理（ゼルメロ＝フレンケルの集合論、選択公理を含む）に矛盾が生じることを示しました。しかし、これは連続体仮説が「真」であることを証明したわけではありません。ゲーデルの成果は、彼の「不完全性定理」の一部として広く認識されています。
2.     ポール・コーエン：アメリカの数学者ポール・コーエンは、1963年にゲーデルの成果を補完する形で、連続体仮説が「独立性」を持つことを示しました。つまり、連続体仮説が真であろうと偽であろうと、数学の基本的な公理には矛盾しないということを証明しました。これにより、連続体仮説が現在の数学の公理系では決定不能であることが明らかになりました。コーエンのこの業績により、彼は1966年にフィールズ賞を受賞しました。
これらの結果は、数学の公理体系の限界についての深い洞察を提供し、その後の数学、特に集合論と論理学の発展に大きな影響を与えました。また、これらの結果は、「大きさ」についての新たな無限の理論や、異なる公理を採用したときにどのような結果が導かれるかといった、新たな研究の道を開くきっかけともなりました。
 
【問い】ありがとうございます。あなたのお答えの「数学の公理体系の限界についての深い洞察を提供し、その後の数学、特に集合論と論理学の発展に大きな影響を与えました。」について、もう少し具体的に説明してください。
 
ChatGPT
ゲーデルとコーエンによる連続体仮説の研究は、数学の公理体系の限界とその特性についての深い洞察を提供しました。これらの結果は、数学がどの程度の「完全性」や「一貫性」を持つか、そして数学的な真理がどの程度まで「決定可能」であるかという問いについて、重要な示唆を与えています。
1.     不完全性と独立性：ゲーデルの不完全性定理とコーエンの連続体仮説に対する結果は、任意の十分に強力な公理体系は、その内部で証明も否定もできない命題を含むという、数学の「不完全性」を示しています。つまり、数学の公理体系は、全ての数学的真理を包括することはできないということです。また、連続体仮説が現行の公理体系では決定不能であることは、公理体系の「独立性」を示しています。つまり、ある命題が真であるか偽であるかは、採用する公理体系によって変わるということです。
2.     集合論と論理学の発展：ゲーデルとコーエンの結果は、その後の集合論と論理学の発展に大きな影響を与えました。例えば、「大きさ」に関する新たな無限の理論の発展、異なる公理を採用したときの結果の探求、そして複数の可能な数学的宇宙の存在といった概念の導入などは、これらの結果から直接的または間接的に生まれました。
3.     新たな公理の探求：連続体仮説が決定不能であることは、現行の公理体系を超えて新たな公理を探求する動機付けとなりました。例えば、強力な大基数公理や、連続体仮説を解決するための特定の公理（例えばマーチンの公理）が提唱されました。
これらの結果は、数学者たちが自身の公理体系とその限界について自覚的に考えるきっかけとなり、その結果、数学の哲学や公理体系の選択についての討論が活発化しました。
 
【質問継続、難しい（笑）】
なるほど。ゲーデルとコーエンの研究成果によって、現在の公理系では決定不能な命題が存在することがわかったわけですね。たいへん面白い。あなたの答えの「連続体仮説が決定不能であることは、現行の公理体系を超えて新たな公理を探求する動機付けとなりました。例えば、強力な大基数公理や、連続体仮説を解決するための特定の公理（例えばマーチンの公理）が提唱されました。」について、2021年現在で、重要な研究成果についてお話いただけますか？
 
ChatGPT
連続体仮説の不確定性は、その後の研究で多くの数学者がさまざまな新しい公理を提案し、それらを探求する動機となりました。2021年現在までに成果があった主要な公理とそれらの研究について幾つか紹介します：
1.     大基数公理：「大基数」と呼ばれる非常に「大きな」無限集合の存在を想定する公理がいくつか提案されています。これらの大基数公理は、特定の種類の無限集合が存在することを仮定し、それに基づいてさまざまな数学的性質を導き出します。大基数公理の一つに「測度可能基数」という概念があり、その存在を仮定することで、確率論や測度論における一部の問題に対する新たな洞察を提供します。
2.     マーチンの公理：マーチンの公理は、連続体仮説を解決するための公理の一つで、無限集合の「サイズ」について特定の制約を設けます。具体的には、任意の可算部分集合が「小さい」基数を持つ全順序集合に対して、その上界が存在するというものです。マーチンの公理は一部の数学者によって採用されており、その助けを借りて多くの数学的結果が得られています。
3.     大基数と強大基数の研究：大基数と強大基数（これらは特定の「大きさ」の無限集合を表す）の研究は、数学の中でも非常に抽象的な部分に取り組んでいます。これらの研究は数学の深い部分に関わる問題を扱い、その結果は集合論、論理学、数学の哲学に影響を与えています。
それぞれの公理や研究は、数学の公理体系の限界について新たな洞察を提供し、数学の様々な分野で重要な成果を生み出しています。
 
【質問あきらめて〆】お答えの抽象度が極めて高くなり、言語で説明することが難しくなってきましたね。ありがとうございます。数学は、言語で実在に迫る哲学と異なり、公理系という土台のうえで、明確かつ論理的に思索を組み立てるものと思っていましたが、従来認識されていた公理系の外に、新たな世界が模索されていることを知りました。勉強になりました。
 
ChatGPT
ご理解いただきありがとうございます。数学は、特定の公理を土台にして論理的な思考を展開する学問であり、その結果は厳密さと一貫性を求められます。しかしながら、公理自体はそれが正しいと証明することはできず、それは一種の前提や信念とも言えます。そして、それらの公理の選択やその結果が真実についての信念は、数学者自身の視点や哲学に大きく依存します。
ゲーデルやコーエンによる連続体仮説の研究が示したように、特定の問いは現行の公理系だけでは解決できないことがあります。そのため、新たな公理の提案や既存の公理の改訂は、数学の探求と発展に不可欠なプロセスとなっています。そのプロセスは、数学者が数学の「真実」についての理解を深め、未知の可能性を開拓する手助けとなっています。