＜証明＞実数a, bに対して、「a+bi=0」ならば「a=b=0」を示せ。

パターン１．実数は２乗すると０以上になることを用いる

＜証明＞

$${a+bi=0}$$ より

$$
\tag{1} bi=a
$$

両辺を２乗して、

$$
\tag{2} -b^2=a^2
$$

ここで、$${a,b\isin\Reals}$$ だから、

$$
\tag{3} \begin{equation}
\left\{ \,
\begin{aligned} a^2\geqq0 \\ b^2\geqq0 \end{aligned}
\right.
\end{equation}
$$

よって

$$
\tag{4} \begin{equation}
\left\{ \,
\begin{aligned} a^2\geqq0 \\ -b^2\leqq0 \end{aligned}
\right.
\end{equation}
$$

(2), (4) より、

$$
\tag{5} 0 \leqq a^2 = -b^2 \leqq 0
$$

よって、

$$
\tag{6} \begin{equation}
\left\{ \,
\begin{aligned} a^2=0 \\ -b^2=0 \end{aligned}
\right.
\end{equation}
$$

ゆえに、

$$
\tag{7} a=b=0
$$

＜証明 終＞

パターン２．b≠0であることと仮定すると矛盾することを用いる（背理法）

＜証明＞

$${b\not =0}$$ と仮定すると、

$$
\tag{1} i=-\cfrac{a}{b}
$$

$${a,b\isin\Reals}$$ より、

$$
\tag{2} -\cfrac{a}{b}\isin\Reals
$$

これは、$${i}$$ が虚数であることに矛盾する。

よって、

$$
\tag{3} b=0
$$

このとき、$${0\cdot i=0}$$ なので、

$$
\tag{4} a=0
$$

＜証明 終＞