【物理数学】ルジャンドル多項式
この記事では、物理で使用されるルジャンドル多項式の基本的な性質について、紹介と導出をする。物理での応用が主なモチベーションなので、数学的性質について深掘りはしない。
1. 定義と一般項
1.1. 定義
ルジャンドル多項式の定義は以下のように与えられる。
$$
\begin{align*}
&P_{~l}(x) = \frac{(-1)^l}{2^l l!}\frac{d^l}{dx^l}(1-x^2)^l ~~~\mathrm{(1)}\\
&(l = 0, 1, 2, …)
\end{align*}
$$
1.2. 一般形
ルジャンドル多項式は一般形で次のように書ける。
$$
\begin{align*}
&P_{~l}(x) = \sum_{k = 0}^{\left[\frac{l}{2}\right]} \frac{(-1)^k (2l - k)!}{2^l~(l - k)! k! (l - 2k)!}x^{l - 2k}~~~\mathrm{(2)}
\end{align*}
$$
（導出）
二項定理より、
$$
(1 - x^2)^l = {}_l C_k 1^k (-x^2)^{l-k} = \sum_{k=0}^l \frac{l!}{(l-k)!~k!}(-1)^{l-k}x^{2l - 2k}
$$
よって、これを$${l}$$回微分すると、
$$
\begin{align*}
\frac{d^l}{dx^l}\left\{(1 - x^2)^l\right\} &= \frac{(-1)^{l-k}~l!}{(l-k)!~k!}\cdot \sum_{k = 0}^{l}\frac{d^l}{dx^l}\Big(x^{2l - 2k}\Big) \\
&= \sum_{k = 0}^{l}\frac{(-1)^{l-k}~l!}{(l-k)!~k!}\cdot \frac{(2l -2k)!}{(l - 2k)!}x^{k - 2l}
\end{align*}
$$
ただし、$${2l - 2k < l}$$の場合、微分の項は$${0}$$になってしまうので、実際のシグマ記号は$${l}$$までではなく$${\left[\frac{l}{2}\right]}$$までである。すなわち、$${l}$$が偶数のとき、$${k: 0 \rightarrow \frac{l}{2}}$$で、$${l}$$が奇数のとき、$${k: 0 \rightarrow \frac{l}{2} - \frac{1}{2}}$$とする。
以上より、Eq.(1)を以下のように展開できる。
$$
\begin{align*}
P_{~l}(x) &= \frac{(-1)^l}{2^l~l!}\frac{d^l}{dx^l}\left\{(1-x^2)^l\right\}\\
&=\frac{(-1)^l}{2^l~l!} \sum_{k = 0}^{\left[\frac{l}{2}\right]}\frac{(-1)^{l-k}~l!}{(l-k)!~k!}\cdot \frac{(2l -2k)!}{(l - 2k)!}x^{k - 2l}\\
&= \sum_{k = 0}^{\left[\frac{l}{2}\right]}\frac{(-1)^k~(2l - 2k)!}{2^l~(l - k)!~k!~(l - 2k)!}x^{l - 2k}
\end{align*}
$$
導出おわり
2. 母関数
ルジャンドル多項式の母関数は次のように与えられる。
$$
\begin{align*}
\frac{1}{\sqrt{1 - 2rx + r^2}} = \sum_{k = 0}^{\infty} r^k~P_{~k}(x)~~~\mathrm{(3)}
\end{align*}
$$
2.1. 母関数について
母関数（generating function）とは、無限級数の形で数列や多項式を足し合わせた関数を指す。ある関数$${f_n(x)}$$の母関数は次のように与えられる。
$$
G(x, t) = \sum_{k = 0}^{\infty} t^k f_k(x)~~~\mathrm{(4)}
$$
母関数は、多項式の解析的な性質を知るには有用な道具である。以下に示すように、母関数は多項式の全ての$${n}$$次の多項式に共通な性質を含むだけでなく、多項式間の関係を漸化式として導出でき、また多項式に対する加法乗法や微分積分をより容易に行うことができる。
例）
数列$${A = \{a_n | a_n = 1\}}$$の母関数は
$$
\begin{align*}
G(x) &= \sum_{k = 0}^{\infty} x^k \\
&= 1 + x + x^2 + \cdots\\
xG(x) &= x + x^2 + x^3 + \cdots \\
(1 - x)G(x) &= 1 \\
\Rightarrow ~G(x) &= \frac{1}{1 - x}
\end{align*}
$$
（母関数については追って記事を書くつもりであるがここでは深入りしない）
2.2 ルジャンドル母関数と物理の関係
極座標におけるポテンシャルの表現を考える。$${\vec{P}}$$における対象が$${\vec{A}}$$から力を受けてポテンシャルを獲得すると設定しよう。簡単のため、$${\vec{A}}$$の長さを1として、それに対する$${\vec{P}}$$の長さを$${r}$$とする。（Fig 1. を見よ）
角度$${\theta}$$を変化させてポテンシャル$${\omega}$$を調べてみると、対称性から$${\omega(-\theta) = \omega(\theta)}$$であることが容易にわかる。よって、$${x = \cos(\theta)}$$とおいて、$${\omega(x)}$$を調べてみよう。
ポテンシャルは距離に反比例するから、
$$
\begin{align*}
\omega(x) \propto \frac{1}{|\vec{P} - \vec{A}|} = \frac{1}{\sqrt{1 - 2r\cos(\theta) + r^2}} = (1 - 2xr + r^2)^{-1/2}
\end{align*}
$$
これが、ルジャンドル多項式$${P_{~l}(x)}$$の母関数である。また、$${x = \cos(\theta)}$$とおいたことから、$${x}$$の定義域は$${[-1, 1]}$$であることが分かる。また、$${r}$$の収束域が$${r < 1}$$（図における点線の円の内側）であることも容易に分かる。
座標の取り方は任意であるから、$${r < 1}$$になるように取れば良い。つまり、$${\vec{A}}$$の方が$${\vec{P}}$$より長くなるように原点を置く。
2.3 一般式の導出
まず、一般的に、
$$
(1 + z)^p = \sum_{k = 0}^{\infty} {}_pC_k~z^k~~~\mathrm{(5)}
$$
ここに$${p = -1/2}$$を代入すると、
$$
\begin{align*}
{}_pC_k &= \frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})(-\frac{5}{2})\cdots (-\frac{1}{2} - k + 1)}{k!} = \frac{(-1)^k~1 \cdot 2 \cdots (2k - 1)}{k! 2^k ~2\cdot 4 \cdot 6 \cdots} \\
&= \frac{(-1)^k~(2k - 1)!}{2^{2k}~[k!]^2}
\end{align*}
$$
また、$${z = -2xt + t^2 = t(t - 2x)}$$を代入すると、二項定理より、
$$
\begin{align*}
z^k = t^k(t - 2x)^{k}= \sum_{j = 0}^{k}~{}_kC_j~t^{k + j}(- 2x)^{k - j} = \sum_{j = 0}^{k}~\frac{(-1)^{k - j}~k!}{j! (k - j)!} t^{k + j}(2x)^{k - j}
\end{align*}
$$
これらをEq.(5)に代入することにより、
$$
\begin{align*}
G(x, t) &= (1 - 2xt + t^2)^{-1/2} = \sum_{k = 0}^{\infty}\sum_{j = 0}^{k} \frac{(-1)^k~(2k)!}{2^{2k}~[k!]^2}\frac{(-1)^{k - j}~k!}{j! (k - j)!} t^{k + j}(2x)^{k - j} \\
&= \sum_{k = 0}^{\infty}\sum_{j = 0}^{k} \frac{(-1)^j~(2k)!}{2^{2k}~k!(k - j)!j!} t^{k + j}(2x)^{k - j} \\
&= \sum_{k = 0}^{\infty}\sum_{j = 0}^{k} \frac{(-1)^j~(2k)!}{2^{k}~k!(k - j)!j!} t^{k + j}~x^{k - j}
\end{align*}
$$
ところで、数列の和について以下のことが成り立つ。
$$
\sum_{k=0}^{\infty} \sum_{j= 0}^{k} {}_kC_j~t^{k + j} = \sum_{k=0}^{\infty} \sum_{j= 0}^{\left[ k/2 \right]}{}_{k-j}C_j~t^k
$$
これを使って式を書き直すと、
$$
\begin{align*}
&\sum_{k = 0}^{\infty}\sum_{j = 0}^{k} \frac{(-1)^j~(2k)!}{2^{k}~k!(k - j)!j!} t^{k + j}~x^{k - j} = \sum_{k=0}^{\infty} \sum_{j= 0}^{\left[ k/2 \right]}\frac{(-1)^j~(2k - 2j)!}{2^k~k!(2k - 2j)! j!}~t^k~x^{k - 2j}\\
= &\sum_{k=0}^{\infty}~t^k~\sum_{j= 0}^{\left[ k/2 \right]}\frac{(-1)^j~(2k - 2j)!}{2^k~k!(2k - 2j)! j!}~x^{k - 2j}
\end{align*}
$$
母関数が$${G(x,t) = \Sigma_{k = 0}^{\infty}t^k~P_{~k}(x)}$$であることを考えれば、ルジャンドル多項式が次のようなものであることが求められる。
$$
P_{~k}(x) = \sum_{j= 0}^{\left[ k/2 \right]}\frac{(-1)^j~(2k - 2j)!}{2^k~k!(2k - 2j)! j!}~x^{k - 2j}
$$
このようにしてEq.(2)に示された一般形が導出できた。
3. 漸化式
3.1. 次数による漸化式
ルジャンドル多項式は以下の漸化式を満たす
$$
\begin{align*}
kP_{~k}(x) = (2k - 1)xP_{~k-1}(x) - (k - 1)P_{~k-2}(x)~~~(k > 1)~~~\mathrm{(6)}
\end{align*}
$$
（導出）
$$
\begin{align*}
\frac{1}{\sqrt{1 - 2xr + r^2}} = \sum_{k= 0}^{\infty} r^k~P_{~k}(x)~~~(r < 1)
\end{align*}
$$
と置く。まず対数をとって、$${r}$$で微分すると、
$$
\begin{align*}
-\frac{1}{2}\ln (1 - 2xr + r^2) &= \ln\Big(\sum_{k = 0}^{\infty}~r^kP_{~k} \Big) \\
\frac{d}{dr}\Big\{ -\frac{1}{2}\ln (1 - 2xr + r^2)\Big\} &= \frac{d}{dr} \Big\{ \ln \sum_{k = 0}^{\infty}~r^k P_{~k}\Big\}\\
-\frac{1}{2}\cdot \frac{-2x + 2r}{1 - 2xr + r^2} = \frac{\Sigma_{k = 0}^{\infty}~kr^{k-1} P_{~k}}{\Sigma_{k = 0}^{\infty}~r^k P_{~k}}\\
\end{align*}
$$
左辺の分子と右辺の分母、左辺の分母と右辺の分子でまとめる。
$$
\begin{align*}
(x - r)\sum_{k = 0}^{\infty}~r^k P_{~k} &= (1 - 2xr + r^2)\sum_{k = 0}^{\infty}~kr^{k-1} P_{~k} \\
x\sum_{k = 0}^{\infty}~r^k P_{~k} - \sum_{k = 0}^{\infty}~r^{k+1} P_{~k} &= k \sum_{k = 0}^{\infty} r^{k-1}P_{~k} - 2kx\sum_{k = 0}^{\infty}~r^{k} P_{~k} + k \sum_{k = 0}^{\infty}~r^{k+1} P_{~k}
\end{align*}
$$
$${r}$$の次数を揃えると、
$$
\begin{align*}
\sum_{k = 0}^{\infty}~r^k~\Big\{x P_{~k} - P_{~k+1}\Big\} &= \sum_{k = 0}^{\infty}~r^k~\Big\{ k P_{~k-1} - 2kx P_{~k} + k P_{~k+1}\Big\}
\end{align*}
$$
$${\{1, x, x^2, …\}}$$は直交する基底なので、ひとつひとつの$${k}$$について、次のことが言える。
$$
\begin{align*}
x P_{~k} - P_{~k+1}&= k P_{~k-1} - 2kx P_{~k} + k P_{~k+1} \\
\Rightarrow (k + 1)P_{~k+1} &= (2k + 1)xP_{~k} + kP_{~k-1}
\end{align*}
$$
これの$${k}$$の次数を一つ下げると、Eq.(6)が得られる。ただし、$${k = 0}$$のとき、
$$
(x - r)P_0 = xP_0 - P_1 = 1
$$
よって、$${P_0(x) = 1}$$とおくと、$${P_1(x) = x}$$である。
導出おわり
補題1：$${P_0(x) = 1}$$とすると、$${P_{~k}(1) = 1}$$である。
（証明）
まず、$${k = 1}$$のとき、上の議論の通り、$${P_0(x) = 1}$$とおくと$${P_1(x) = x}$$であるから、$${P_1 (1) = 1}$$。
次に、$${k \geq 2}$$の場合を考える。Eq.()より、$${x = 1}$$を代入すると
$$
\begin{align*}
P_{~k+1}(1) &= \frac{2k + 1}{k + 1}\cdot 1 \cdot P_{~k}(1) - \frac{k}{k + 1}P_{~k - 1}(1) \\
&= \frac{2k + 1}{k + 1}\cdot 1 \cdot 1 - \frac{k}{k + 1} \cdot 1 \\
&= \frac{2k + 1}{k + 1} - \frac{k}{k + 1} = \frac{k+ 1}{k + 1} = 1
\end{align*}
$$
よって数学的帰納法により全ての自然数$${k}$$について$${P_{~k}(1) = 1}$$。
証明おわり
補題2：$${P_{~k}(1) = (-1)^k}$$である。
（証明）
まず、$${k = 1}$$のとき、上の議論の通り、$${P_0(x) = 1}$$とおくと$${P_1(x) = x}$$であるから、$${P_1 (-1) = -1}$$。
次に、$${k = 2n~~~(n = 0, 1, 2, …)}$$の場合を考える。$${P_0(-1) = 1, P_1(-1) = -1}$$であったから、
$$
\begin{align*}
P_{~k+1}(-1) &= \frac{2k + 1}{k + 1}\cdot (-1) \cdot P_{~k}(-1) - \frac{k}{k + 1}P_{~k - 1}(-1) \\
&= \frac{2k + 1}{k + 1}\cdot (-1) \cdot 1- \frac{k}{k + 1} \cdot (-1) \\
&= - \frac{2k + 1}{k + 1} + \frac{k}{k + 1} = - \frac{k+ 1}{k + 1} = -1
\end{align*}
$$
最後に、$${k = 2n+1~~~(n = 0, 1, 2, …)}$$の場合を考える。$${P_0(-1) = 1, P_1(-1) = -1}$$であったから、
$$
\begin{align*}
P_{~k+1}(-1) &= \frac{2k + 1}{k + 1}\cdot (-1) \cdot P_{~k}(-1) - \frac{k}{k + 1}P_{~k - 1}(-1) \\
&= \frac{2k + 1}{k + 1}\cdot (-1) \cdot (-1)- \frac{k}{k + 1} \cdot 1 \\
&= \frac{2k + 1}{k + 1} - \frac{k}{k + 1} = \frac{k+ 1}{k + 1} = 1
\end{align*}
$$
よって数学的帰納法により全ての自然数$${k}$$について$${P_{~k}(1) = (-1)^k}$$。
証明おわり
3.2. 微分を含む漸化式
ルジャンドル多項式は以下の漸化式を満たす
$$
\begin{align*}
P_{~k}(x) &= P'_{~k-1}(x) - 2xP'_{~k}(x) + P'_{~k+1}(x) ~~~\mathrm{(7)}
\end{align*}
$$
（導出）
$$
\begin{align*}
\frac{1}{\sqrt{1 - 2xr + r^2}} = \sum_{lk= 0}^{\infty} r^k~P_{~k}(x)~~~(r < 1)
\end{align*}
$$
と置く。まず対数をとって、$${x}$$で微分すると、
$$
\begin{align*}
-\frac{1}{2}\ln (1 - 2xr + r^2) &= \ln \sum_{k = 0}^{\infty}~r^kP_{~k} \\
\frac{d}{dx}\Big\{ -\frac{1}{2}\ln (1 - 2xr + r^2)\Big\} &= \frac{d}{dx} \Big\{ \ln \sum_{k = 0}^{\infty}~r^k P_{~k}\Big\}\\
-\frac{1}{2}\cdot \frac{-2r}{1 - 2xr + r^2} &= \frac{\Sigma_{k = 0}^{\infty}~r^k P'_{~k}}{\Sigma_{k = 0}^{\infty}~r^k P_{~k}} \\
r\sum_{k = 0}^{\infty}~r^k P_{~k} &= (1 - 2xr + r^2)\sum_{k = 0}^{\infty}~r^k P'_{~k}
\end{align*}
$$
次数による漸化式同様に、$${r}$$の次数を揃えると、以下のようにしてEq.(7)が導出される。
$$
\begin{align*}
\sum_{k = 0}^{\infty} P_{~k} &= \sum_{k = 0}^{\infty} \Big\{P'_{~k-1} - 2xP'_{~k} + P'_{~k+1}\Big\} \\
\Rightarrow P_{~k} &= P'_{~k-1} - 2xP'_{~k} + P'_{~k+1}
\end{align*}
$$
導出おわり
4. 微分方程式
4.1. 微分方程式の導出
ルジャンドル多項式は以下の微分方程式を満たす。
$$
\begin{align*}
\left[(1 - x^2)\frac{d^2}{dx^2} - 2x\frac{d}{dx} + l(l+1)\right]P_{~l}(x) = 0~~~\mathrm{(8)}
\end{align*}
$$
（導出）
Eq.(6)を以下のように書き直す。
$$
\begin{align*}
(l + 1)P_{~l+1}(z) - (2l + 1)zP_{~l}(z) + l~P_{~l-1}(z) = 0~~~(l > 0, r< 1) \\
\end{align*}
$$
これを$${z}$$について微分する。
$$
\begin{align*}
&(l + 1)P'_{~l+1} - \Big[ (2l + 1)zP'_{~l} + (2l + 1)P_{~l}\Big] + l~P'_{~l - 1} = 0 \\
\therefore~&(2l + 1)P_{~l} = (l + 1)P'_{~l+1} - (2l + 1)zP'_{~l} + l~P'_{~l - 1} ~~~\mathrm{(8.1)}
\end{align*}
$$
また、Eq.(7)を書き直すと、
$$
\begin{align*}
P_{~l} &= P'_{~l-1} - 2zP'_{~l} + P'_{~l+1} ~~~\mathrm{(8.2)}
\end{align*}
$$
Eq.(8.1) とEq.(8.2)を比べてみる。Eq.(8.1)を2倍にして、Eq.(8.2)を$${2l + 1}$$倍にしたもので引いた差は
$$
\begin{align*}
2(2l + 1)P_{~l} &= 2(l + 1)P'_{~l+1} - 2(2l + 1)zP'_{~l} + ~~~~~~~~~~~2l~P'\\
-)~~~~(2l + 1)P_{~l} &= (2l + 1)P'_{~l+1} - 2(2l + 1)zP'_{~l} + (2l + 1)P'_{~l-1} \\
\\
(2l + 1)P_{~l} &= P'_{~l+1} - P'_{~l-1}~~~~~~~~~~~~~\mathrm{(8.3)}
\end{align*}
$$
Eq.(8.2)とEq.(8.3)から方程式を導出する。まず、Eq.(8.4)より次の二つのことが言える。
$$
\begin{align*}
P'_{~l+1} &= (2l + 1)P_{~l} + P'_{l - 1}\\
P'_{~l-1} &= -(2l+1)P_{~l} + P'_{~l+1}
\end{align*}
$$
Eq.(8.2)に$${P'_{~l-1}}$$のほうを代入すると
$$
\begin{align*}
&(l + 1)P'_{~l+1} - (2l+ 1)zP'_{~l} + l~P'_{~l-1} - (2l + 1)P_{~l} = 0\\
&(l + 1)P'_{~l+1} - (2l+1) zP'_{~l} + l~\big\{P'_{~l+1} - (2l+1)P_{~l}\big\} - (2l + 1)P_{~l} = 0\\
&(2l+ 1)P'_{~l+1} - (2l + 1)zP'_{~l} - (2l+1)(l+1)P_{~l} = 0\\
\Rightarrow~&\begin{cases}
P'_{~l+1} = zP'_{~l} + (l+1)P_{~l} ~~~~~\mathrm{or}\\
P'_{~l} ~~~~= zP'_{~l-1} + l~P_{~l-1}~~~~~~~\mathrm{(8.4)}
\end{cases}
\end{align*}
$$
次に、Eq.(8.2)に$${P'_{~l+1}}$$のほうを代入すると
$$
\begin{align*}
&(l + 1)P'_{~l+1} - (2l+ 1)zP'_{~l} + l~P'_{~l-1} - (2l + 1)P_{~l} = 0\\
&(l + 1)\big\{(2l + 1)P_{~l} + P'_{l - 1}\ \big\} - (2l+ 1)zP'_{~l} + l~P'_{~l-1} - (2l + 1)P_{~l} = 0\\
&(2l + 1)P'_{~l-1} - (2l + 1)zP'_{~l} + (2l + 1)l~P_{~l}\\
\Rightarrow~&\begin{cases}
P'_{~l-1} = zP'_{~l} ~~~~- l~P_{~l}~~~~~~~~~~~~~~\mathrm{or}\\
P'_{~l} ~~~~= zP'_{~l+1} - (l+1)~P_{~l+1}~~~~~~~\mathrm{(8.5)}
\end{cases}
\end{align*}
$$
もうすぐ終わる。Eq.(8.5)をEq.(8.4)に代入すると、
$$
\begin{align*}
&P'_{~l} = z(zP'_{~l} - l~P_{~l}) + l~P_{~l-1} = z^2P'_{~l} - lzP_{~l} + l~P_{~l-1}\\
\therefore~&(1 - z^2)P'_{~l} = l~(P_{~l-1} - zP_{~l})
\end{align*}
$$
両辺を$${z}$$で微分することによって、次の式を得る。
$$
\begin{align*}
\frac{d}{dz}\bigg[(1 - z^2)P'_{~l} \bigg] = \frac{d}{dz} \bigg [ l~(P_{~l-1} - zP_{~l}) \bigg ] = l~(P'_{~l-1} -P_{~l} - zP'_{~l})
\end{align*}
$$
最後に、$${P'_{~l - 1}}$$にEq.(8.5)を代入することで、
$$
l~(P'_{~l-1} -P_{~l} - zP'_{~l}) = l \big\{ (zP'_{~l} - l~P_{~l}) - P_{~l} - z P'_{~l}\big\} = -l(l+1)P_{~l}
$$
ゆえに、
$$
\frac{d}{dz}\bigg[(1 - z^2)\frac{dP_{~l}}{dz} \bigg] + l(l+1)P_{~l} = 0
$$
導出おわり
4.2. 自己随伴形式
ルジャンドル多項式を自己随伴形式で書くと次のようになる。
$$
\begin{align*}
\left[\frac{d}{dx}\left( (1 - x^2)\frac{d(x)}{dx}\right) + l(l+1)\right]P_{~l}(x) = 0 ~~~\mathrm{(5)}
\end{align*}
$$
導出
$$
\begin{align*}
&\frac{d}{dx}\left[ (1 - x^2)\frac{dP_{~l}(x)}{dx}\right] + l(l+1)P_{~l}(x) \\
&= \frac{d}{dx}\Big(1 - x^2\Big)\cdot \frac{dP_{~l}(x)}{dx} + (1 - x^2)\cdot \frac{d^2P_{~l}(x)}{dx^2} + l(l+1)P_{~l}(x) \\
&= (1 - x^2)\frac{d^2P_{~l}(x)}{dx^2} - 2x\frac{dP_{~l}(x)}{dx} + l(l+1)P_{~l}(x) = 0
\end{align*}
$$
よって、Eq.(1)と等価であることが示せた。
導出おわり
自己随伴性とは、ある演算子$${\mathcal{L}}$$が内積において
$$
\langle \mathcal{L}u, v \rangle = \langle u, \mathcal{L}v \rangle
$$
を満たすという性質である。演算子$${\mathcal{L}}$$が自己随伴性を持つことを示すには、第一に微分方程式が自己随伴形式、例えば二階微分の場合、
$$
\mathcal{L}u(x) = \frac{d}{dx}\Big[ p(x) \frac{du(x)}{dx}\Big] + q(x)u(x) = \lambda \omega(x) u(x)
$$
に書き換えられること、第二に係数$${p(x)}$$が十分に滑らかであること、第三に境界条件（Dirichlet条件、Neumann条件）を満たすことである。
ルジャンドル多項式が自己随伴性を持つことは物理において重要な意味を持っている。演算子が自己随伴性を持つと、その固有値は実数であり、その固有関数が互いに直交することが保証される。これは、その演算子の固有値や固有関数が物理的に意味を持つことを示唆する。
（自己随伴性については追って記事を書くつもりである。）
5. ルジャンドル陪多項式
5.1. ルジャンドル陪多項式の微分方程式
ルジャンドル陪多項式は、ルジャンドル微分方程式を$${m}$$回微分した方程式で得られる。すなわち、$${P_{~l}^{~m}(x)}$$は以下の微分方程式を満たす。
$$
\begin{align*}
\frac{d^m}{dx^m}\left\{\left[(1 - x^2)\frac{d^2}{dx^2} - 2x\frac{d}{dx} + l(l+1)\right] P_{~l}^{~m}(x)\right\} = 0~~~\mathrm{(6)}
\end{align*}
$$
（導出）
（作成中）
導出おわり
5.2. 陪多項式と多項式の関係
ルジャンドル陪多項式は多項式と次のような関係で結ばれている。
$$
\begin{align*}
P_{~l}^{~m}(x) = (1 - x^2)^{m/2}\frac{d^m}{dx^m}P_{~l}(x)~~~\mathrm{(7)}
\end{align*}
$$
（導出）
（作成中）
導出おわり
5.3. 陪多項式の一般形
ルジャンドル陪多項式の一般形は次のようになる。
$$
\begin{align*}
P_{~l}^{~m}(x) = (1 - x^2)^{m/2} \sum_{k = 0}^{\left[\frac{l - m}{2}\right]}\frac{(-1)^{-k}(2l - 2k)!}{2^l (l - k)! k! (l - m - 2k)!}x^{l - m - 2k}~~~\mathrm{(8)}
\end{align*}
$$
（導出）
（作成中）
導出おわり
5.4. 陪多項式のパリティ
（導出）
（作成中）
導出おわり
6. 多項式の直交性
ルジャンドル多項式は直交多項式の一つである。直交多項式とは、特定の区間と重み関数について互いに直交する多項式である。例えば、$${p_n(x)}$$を区間$${[a, b]}$$における$${n}$$次の直交多項式とし、重み関数を$${w(x)}$$と定義する。すると以下が成り立つ。
$$
\langle n | w(x) | m\rangle = \int_a^b dx~p_{~n}(x)w(x)p_{~m}(x) = C_{n}~\delta_{nm}
$$
ただし$${\delta_{nm}}$$はクロネッカーのデルタ記号である。ルジャンドル多項式はこうした多項式の一つである。他にも、ラゲール多項式（Laguerre polynomials）、エルミート多項式（Hermite polynomials）、チェビシェフ多項式（Chebyshev polynomials）などがある。
6.1. 冪級数との直交性
ルジャンドル多項式は、冪級数と直交する。
$$
\langle x^m, P_{~n}\rangle = \int_{-1}^1 dx~x^mP_{~n}(x) = \delta_{mn}
$$
（証明）
部分積分して考える。微分を$${D\big(P(x)\big)}$$とすると、
$$
\begin{align*}
&\int_{-1}^1dx~x^mP_{~n}(x) = x^mD^{-1}\big(P_{~n}(x)\big)\bigg|_{-1}^1 - \int_{-1}^1dx~mx^{m-1}D^{-1}\big(P_{~n}(x)\big) \\
=~&x^m D^{-1}\big(P_{~n}(x)\big) \bigg|_{-1}^1 - mx^{m-1}D^{-2}\big(P _{~n} (x) \big) \bigg|_{-1}^1 + \cdots + (-1)^m\int_{-1}^1dx~D^{-m}\big(P_{~n}(x)\big)\\
=~& \sum_{k = 0}^{m-1} (-1)^{k} ~k!~x^{m - k}~D^{-k}\big( P_{~n}(x)\big) \bigg|_{-1}^1 + (-1)^m\int_{-1}^1dx~D^{-m}\big(P_{~n}(x)\big)
\end{align*}
$$
ここで、最初の定積分は$${x}$$の項があるため、全て0になる。というのも、補題1と補題2でも示した通り、
$$
x^m P_{~n}(x)\bigg|_{-1}^1 = 1 \cdot 1- (-1)\cdot(-1) = 0
$$
また、最後の項についても、$${m ≠ n}$$のとき、
$$
\int_{-1}^1dx~D^{-m}\big(P_{~n}(x)\big) \propto \int_{-1}^1dx~\frac{d^{n-m}}{dx^{n-m}}(1 - x^2)^n = D^{n - m - 1}\big( (1 - x^2)^n \big)\bigg|_{-1}^1 = 0
$$
唯一、$${m = n}$$のとき、
$$
\begin{align*}
&(-1)^n \int_{-1}^1dx~D^{-n}\big(P_{~n}(x)\big) \\
=~&(-1)^n \int_{-1}^1dx~\frac{d^{n-m}}{dx^{n-n}}\frac{(-1)^n}{2^n~n!}(1 - x^2)^n \\
=~&\frac{1}{2^n~n!} \int_{-1}^1dx~(1 - x^2)^n\\
\end{align*}
$$
$${x = \sin(\theta)}$$と置換してベータ関数を使えば、
$$
\begin{align*}
&\int_{-1}^1dx~(1 - x^2)^n = 2\int_{0}^{\pi/2}\cos(\theta) d\theta~\big(\cos^2(\theta)\big)^n = 2\int_0^{\pi/2} d\theta ~\cos^{2n + 1}(\theta) \\
=~&2\cdot\frac{1}{2}\mathfrak{B}\left(\frac{1}{2}, n + 1\right) = \frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(n+1)}{\Gamma(n + \frac{3}{2})}
\end{align*}
$$
よって
$$
\begin{align*}
&\frac{1}{2^n~n!} \int_{-1}^1dx~(1 - x^2)^n = \frac{1}{2^n~n!} \frac{\Gamma (\frac{1}{2})\Gamma(n+1)}{\Gamma(n + \frac{3}{2})}\\
=~&\frac{1}{2^n~n!}\frac{2^{2n+1} n!}{(2n + 1)!}\sqrt{\pi}(n+1)!\\
=~&\frac{2^{n+1}\sqrt{\pi}~(n+1)!}{(2n+1)!}
\end{align*}
$$
である。まとめると、
$$
\langle x^m, P_{~n}\rangle = \frac{2^{n+1}\sqrt{\pi}~(n+1)!}{(2n+1)!} \delta_{mn}
$$
証明おわり
6.2. 多項式同士の直交性
ルジャンドル多項式同士の直交性では、重み関数は$${w(x) = 1}$$である。すなわち、
$$
\langle P_n(x), P_m(x)\rangle = \frac{2}{2n+1}\delta_{mn}
$$
これらの証明は、$${P_{~n}(x)}$$が$${\{1, x, x^2, …, x^{n-1}\}}$$と直交することを示しており、すなわち$${\mathbb{R}^l}$$の基底をグラムシュミット正規直行化したものであることを示唆する。ゆえに、あらゆる任意の多項式$${f(x)}$$はルジャンドル多項式に分解することができる。すなわち、
$$
\begin{align*}
f(x) = \sum_k^n \alpha_k P_{~k}(x)~~~\mathrm{(9)}
\end{align*}
$$
（導出）
（作成中）
導出おわり
6.3. 陪多項式同士の直交性
$$
\begin{align*}
\int_{-1}^1 P_{~l}^{~m}(x)~P_{~l'}^{~m}(x)~dx = \frac{2}{2l+1}\frac{(l + |m|)!}{(l - |m|)!}\delta_{ll'}~~~\mathrm{(10)}
\end{align*}
$$
（導出）
（作成中）
導出おわり
7. ルジャンドル関数
（作成中）
参考文献
M. Abramowitz I.A. and Stegun, (Eds.) "Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables". Dover Publications Inc., New York, 1965
Whittaker, E.T. and Watson, G.N. "A Course of Modern Analysis". Cambridge U.P., Cambridge, 1935
Howard Haber, "Mathematical Methods in Physics III lecture note", UC Santa Cruz, 2012
原島鮮 著. 初等量子力学. 改訂版, 裳華房, 1987
田中宏志. 物理数学I令和2年度版テキスト, 2020