「アンペア」の定義のこれまでといま（2019年改定の要点）

2019年、国際基本単位系（SI）が改定されました。「キログラム原器がなくなる」というニュースが記憶に新しい方も多いのではないでしょうか。重さ、長さ、時間など、私たちが何かを測るときの大前提となる「単位」。その定義の変更の影響は大きく、物理学の教科書にも記述の見直しが求められました。長年にわたって大学・高専生の皆様にお使いいただいている『エッセンシャル電磁気学』（田口俊弘・井上雅彦 著、森北出版刊）もその一冊。電磁気学で中心的な役割を果たす電流の単位、「アンペア」の単位の定義が変わったことに対応し、2020年2月発行の第1版第4刷で改訂が行われました。

本記事では、『エッセンシャル電磁気学』の著者の田口俊弘先生に、「そもそも単位系とは何か」までさかのぼり、電磁気学における単位の定義の変遷、今回の改定の要点をまとめていただきました。

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国際基本単位系の定義改定とそれに伴う『エッセンシャル電磁気学』の改訂について

著：田口俊弘（摂南大学名誉教授）

はじめに

拙著『エッセンシャル電磁気学』第4刷における改訂のポイントは、電流の単位「アンペア」の新しい定義に基づいた記述にしたことです。改訂のきっかけになったのは、2018年の秋に「130年ぶりの単位改定でキログラム原器が不要になる」というニュースを見たことでした。

このニュースは、2018年11月に開催された国際度量衡総会（Conférence Générale des Poids et Mesures, CGPM（＊1））にて国際基本単位系の大きな定義改定が決定されたことを伝えたものですが、話題のトップは質量の単位「キログラム（kg）」の定義改定でした。従来の「キログラム」は、「キログラム原器」と呼ばれる白金・イリジウム合金で作製された物体の質量が基準でした。キログラム原器は、フランスにある国際度量衡局（Bureau International des Poids et Mesures, BIPM）に大切に保管されています。キログラム原器が基準に採択されたのは1889年なのですが、長い年月の間に原器の質量がわずかに変化していることがわかってきました。このため、ずいぶん前から質量の定義を変える努力がなされてきたのですが、2018年の総会で最終的な改定案が承認されたのです。ニュースでは、キログラム原器のレプリカが公開された様子も見せていました。日本のレプリカは、産業技術総合研究所・計量標準総合センター（National Metrology Institute of Japan, NMIJ）の奥に大切にしまわれていて、そのうやうやしい取り扱いも面白かったです（＊2）。

＊1　Poidsとは、フランス語で重量のことです。この総会は、英語では「General Conference on Weights and Measures」です。フランスに本部があるので、基本的にフランス語名称の頭文字で呼ばれているようです。
＊2　 NMIJのサイト（https://unit.aist.go.jp/nmij/）には、新しいSI基本単位系の詳細やパンフレット、BIPMのサイト（https://www.bipm.org/）へのリンクなどが掲載されています。もう少し詳しく知りたい場合には、とりあえずそれらをご覧いただければと思います。以下の話では、このサイトの内容も参考にさせていただきました。

そこで筆者は、興味本位から『新しい1キログラムの測り方』（参考文献[1]）という本を読んで、キログラムの定義がどう変わるかを調べてみました。ところが、キログラムの改定を面白がっている場合ではなかったのです。そこには、キログラムだけではなく、電磁気学の基本単位である「アンペア（A）」の定義も変わることが書いてありました。

そこで、もう一冊『新SI単位と電磁気学』（参考文献[2]）という本を読んで確認したところ、電流の単位の定義が変わるため、真空の誘電率や透磁率の数値が、わずかですが変更されることがわかりました。そこで『エッセンシャル電磁気学』が重版されることになったのをきっかけに、「アンペア」の新しい定義に基づいた内容になるよう文言を修正したというわけです。

せっかくだから、これらの本に書かれていた国際基本単位系の定義やその変遷などをピックアップしてまとめたのがこの記事です。単位の決定方法に関する詳細を知りたい方は、参考文献をお読みいただければと思います。

なお、2018年の改定案は、2019年5月20日から実施されて現在に至っています。ちなみに5月20日は、メートル条約が成立した日にちなんだ「世界計量記念日」だそうです。

国際基本単位系

現在の国際基本単位系（SI基本単位系（＊3））は表1に示す7個で構成されています。

表1　国際基本単位系（SI基本単位系）

＊3　フランス語でSystème International d’unitésなのでSIです。

いわゆる「MKSA単位」という最初の4個やケルビンまではわかるのですが、モルやカンデラまでが基本単位として定義されているとは知りませんでした。クイズになりそうですね。

新SI基本単位系の概要

まず、改定前の基本単位の定義と、改定による定義の変更について、その概要を示します。

変わらない単位
これまでと変わらないのは、時間と長さと光度の単位で、以下のように定義されています。

（a）時間の単位「秒（s）」は、セシウム133原子の基底状態の二つの超微細構造準位間の遷移に対応する放射の周期の9192631770倍である（1967–1968年採択）。
（b）長さの単位「メートル（m）」は、光が真空中を1/299792458秒間に伝わる距離である（1983年採択）。
（c）光度の単位「カンデラ（cd）」は、周波数540×10^12 Hzの単色放射を放出し、所定の方向におけるその放射強度が1/683 W/sr（ワット毎ステラジアン）である光源のその方向における光度である（1979年採択）。

時間の単位「秒」は、ご存じの通り、1年365日、1日24時間、1時間60分、1分60秒、という、地球の自転や公転の周期から決められたものですが、詳細な観測の結果、周期が徐々に変化していることがわかったので、より安定した基準として現在の定義が採用されています。

長さの単位「メートル」は、元来は地球の北極から赤道までの距離を1万キロメートルとして決めたのですが、最初に基準としていたメートル原器にやはり変形の問題があったため、現在は光の速度という物理学の普遍定数を使って定義されています。このため、真空中の光の速度c = 299792458 m/sは、測定値ではなく定義値です。

もう一つ変わらないのが「カンデラ」ですが、カンデラの定義は人間の感覚が元になっているようです。この定義によれば、人の目の分光感度（視感度、視感効果度）は540×10^12 Hzの単色放射に対して、正確に683 lm/W（ルーメン毎ワット）になります。カンデラは人間の感覚を元に定義されていますが、特定の物質に依存していないので、今後も改定する必要はないと思われます。

なお、上記の定義はそれぞれが採択されたときのものですが、2019年から実施されている新しい単位系では、定義が以下のような表現に変わっています。

（a）セシウム133原子の摂動を受けない基底状態の超微細構造遷移周波数∆νの値を9192631770 Hzとする。
（b）真空中の光の速度cの値を299792458 m/sとする。
（c）周波数540×10^12 Hzの単色放射の視感効果度Kcdを683 lm/Wとする。

これらの再定義は、以下でお話しする今回改定された定義表現と統一させるためのものだと思います。

質量の単位の改定
ニュースで話題になったのが、質量の単位「キログラム（kg）」の改定です。そもそも「キログラム」というのは、水1リットルの重さで定義されたものですが、水だと気温や気圧によって体積が変化するし、蒸発もするので基準にするのは難しかったようです。そこで、変質しにくい白金・イリジウム合金製のキログラム原器を作製し、それを基準としてきました。これには、できる限り厳密に同じ質量にしたレプリカが作られて、各国に配られています。日本では、上記のNMIJに保管されていますが、約30年に一度、フランスに持って行って、原器との比較・校正を行ってきたそうです（＊4）。しかし、原器だって年が経つにつれてわずかながらも質量が変化することがわかってきたし、そもそも「原器」という人間が作った特定の物体に物理法則の基準が依存しているというのも変ですよね。

＊4　フランスに持って行くのは大変な作業のようで、これを題材にしたノルウェー映画があるくらいです（邦題『1001グラム　ハカリしれない愛のこと』）。なお、日本のキログラム原器は 100年間で7 µgしか変化しなかったとのことですが、あくまでも原器との比較でしかないので、実際にどの程度ずれたかはわかりません。

では、新しい定義はどうなるかというと、

プランク定数hの値を6.62607015×10^(−34) Jsとする。

というものです。これがどうして質量の単位を決めることになるかは、量子論の知識が必要です。量子論によれば、周波数f [Hz]の光子の持つエネルギーはhf [J]ですから、プランク定数が定義されれば、周波数f [Hz]の光子エネルギーが厳密に決まります。アインシュタインの相対性理論によれば、m [kg]の質量はmc^2 [J] のエネルギーに相当しますから、1 kg の質量とは、周波数 f [Hz] の光子で数えれば、

に相当するというわけです。c も定義値なので、この数値は厳密に決定できます。

でも、光子の数で質量を計るのは、実際には難しいでしょう。世の中には、電気的に釣り合いを調べる「ワットバランス」という天秤があり、これで精密に質量を決めるようです。詳細は参考文献[1]をご覧下さい。

電流の単位の改定
改定前の電流の単位「アンペア （A）」は、電流間の力の法則の係数を定義することで決められていました。『エッセンシャル電磁気学』の2.8節（p.63）に出てくる、無限に長い2本の直線電流間にはたらく力の法則です。電線が d [m] の間隔で平行に置かれていて、それぞれにI_1 [A]とI_2 [A]が流れているとすれば、両者の間にはたらくL [m]あたりの力は次式で与えられます。

ここでµ_0は真空の透磁率ですが、これまでは、

と定義されていました（＊5）。このため、アンペアの定義は以下の通りでした。

2本の無限に長い電線が間隔1 mで平行に置かれていて、どちらにも同じ大きさの電流が流れているとき、電線間にはたらく力が1 mあたり2×10^(−7) Nのときの電流を1 Aとする。

＊5　(2)式より、µ_0の単位がN/A^2であることはわかりますが、『エッセンシャル電磁気学』ではµ_0の単位をH/mにしています。H/mとN/A^2が一致することの確認は読者の皆さんにおまかせします。

何となく、とってつけたような定義ですが、これで電磁気学の基本法則の一つが構成されていました。これに対し、新しいアンペアは、電荷の単位を以下のように定義化することで決まります。

電気素量eの値を1.602176634×10^(−19) Cとする。

電気素量というのは、陽子や電子が持つ電荷の絶対値で、素粒子の基本的電荷量です。つまり、今回の改定により、素粒子の持つ電荷を測定値ではなく定義値にしたことになります。これは、光速度を定義したのと同じで、物理学の普遍定数を定義してしまおうという考えです。電流とは1秒間に流れた電荷量ですから、1 Aとは、1秒間に電子が(1/1.602176634)×10^19 個通過したときの電流に相当します。

そもそも、電流の単位を力で定義したのは、電流の本質が電子という素粒子の流れである、ということがわかっていなかった頃の名残のようです。つまり、電流間にはたらく力のようなマクロな現象で電流の大きさを定義していたわけです。「MKSA単位系」という言葉がありますが、アンペアを力で定義していたということは、電流をM（メートル）、K（キログラム）、S（秒）で測って決めていたことになるので、「A」は完全には独立していなかったといえます。

改定前のアンペアの定義が採択されたのは、1948年なので、キログラムほどではないですが、70年以上使われていたことになります。今回の改定で、電流の定義が力と無関係になったため、真のMKSA単位系になったと言えます。問題は、じゃあµ_0の値はどうなるんだ、ということですが、これについては後述の「今回の改定による電磁気学の係数の変更」で説明します。

熱力学温度と物質量の単位の改定
残る二つの基本単位の改定については次のようになっています。まず、熱力学温度（絶対温度）の単位「ケルビン（K）」ですが、改定前は、水の三重点温度（＊6）を273.16 Kと定義していました（1967–1968年採択）。すなわち、改定前の1 Kは、正確に水の三重点温度の273.16分の1でした。ちなみに、摂氏温度t [◦C]と熱力学温度T [K]の関係は、t=T−273.15と定義されています。摂氏温度と熱力学温度の差273.15 Kは、三重点温度と0.01 K違うので注意してください。

＊6　気体・液体・固体の相が共存している点のことです。水は、圧力が約612 Paより高いと「固体・液体・気体」の３相が存在しますが、圧力が低いと液体相がなくなります。つまり、氷を溶かすとすぐに水蒸気になるわけです。この約612 Paにおける相転移温度が水の三重点温度です。

これに対し、新しい熱力学温度の定義は、

ボルツマン定数kの値を1.380649×10^(−23) J/Kとする。

となっています。このため、1 Kの温度に相当するエネルギーが、正確に1.380649×10^(−23) Jになります。こちらも物質に依存することなく、質量のようにエネルギーで定義をしたわけです。

もう一つは、物質量の単位「モル（mol）」です。1 molというのは、原子や分子を「アボガドロ数個」集めた物質量のことですが、新しい定義では、

アボガドロ数N_Aの値を6.02214076×10^23とする。

となっています。これまでは「12 gの炭素12の中に存在する炭素原子の数をアボガドロ数とする」と定義していたので、1 molの炭素12が厳密に1 gでした。この定義の採択年は1971年です。今回の改定により、モルも特定の物質に依存することがなくなりました。

電磁気学の単位の変遷

電磁気学の単位の変遷について少し説明しておきます。まず最初は、ウェーバが作った「CGS電磁単位系、CGSemu」です。これは、1 cm間隔で置かれた平行直線電流間の力が、1 cmあたり2 dynになるときの電流を電流の基準とするものです（＊7）。1 dyn=10^(−5) N、1 cm=1/100 mですから、(2)式を使ってこの単位系で測った電流値i_mをアンペアに換算すると、

となります（＊8）。CGS単位系では、長さがcm、質量がgですが、時間の単位は同じ「秒」です。よって、この電流の換算係数は電荷量の換算係数でもあります。

＊7　1 dynではなく、2 dynにしたのは、ビオ・サバールの法則を基本としたためのようです。
＊8　ちなみに、この係数に改定前のµ_0の定義値を代入すると、ぴったり10になります。1 Aというのは、この1/10を基準に決めたそうです。2×10^(−7)という、とってつけたような係数はここから来たのですね。

次が、「CGS静電単位系、CGS esu」で、マクスウェルが提案したそうです。こちらは、1 cm間隔の電荷間の力が1 dynである電荷量を電荷の基準とするものです。このため、この単位系で測った電荷量q_eをクーロンに換算すると、

となります（＊9）。(3)式と(4)式より、同じ電荷を測ったときに、esu単位系の電荷の数値q_eとemu単位系での電荷の数値q_mの比は、

となります。ここで面白いのは、右辺の

が[cm/s]で測った光の速度になっていることです。マクスウェル方程式が完成する少し前に、ウェーバとコールラウシュがこの比率を実験で測ったのですが、マクスウェルは、その値が当時測定されていた光の速度に近いことが偶然ではないと考えて電磁波を発生させる理論に到達したようです。また、自ら精度を高めた実験もしたそうです。

＊9　この関係は『エッセンシャル電磁気学』1.6節（p.16）で説明しているクーロンの法則から導くことができます。

もう一つ、CGSガウス単位系というのもあります。これは、電荷量はesuで測り、磁束密度はG（ガウス=1/10000 T）で測るものです。実を言うと、プラズマ物理が専門の筆者が昔使っていたのは、このCGSガウス単位系でした。SI単位系を使うようになったのは大学で電磁気学を教えるようになってからです。それで、最近の論文では全てSI単位系の方程式から導出した公式を書いているのですが、論文の共同執筆者が未だにCGSガウス単位系を使ったコメントを送ってくるので困ることもあります。

今回の改定による電磁気学の係数の変更

さて、電磁気学における最も重要な改定は、上記のように電気素量eの値を1.602176634×10^(−19) Cという定義値にしたことです。これにより、電気の単位がようやく独立したのですが、それに伴ってµ_0の数値が4π×10^(−7)という定義された値ではなくなり、測定すべき量になりました。すなわち、1秒間に(1/1.602176634)×10^19個の電子が通過した電流間の力を測ってµ_0を決めねばなりません。

しかし、力を精密測定するのには限度があるため、こちらも量子力学的現象を使った測定で決めています。最も精度が良いパラメータは、量子電磁力学を使って理論的に計算された値と、計測から求められた値が非常に高い精度で一致する微細構造定数αです。αは次式で定義されています。

微細構造定数は、逆数で示されることが多いのですが、その測定値は、1/α=137.035999084(21)だそうです（＊10）。10桁まで確定しているというのは驚きです。相対標準不確かさは1.5×10^(−10)です。

＊10　2018CODATA推奨値（NIST SP 961,May2019）より。

この中央値と今回の定義値を使って計算すると、新しい単位系でのµ_0は以下の数値になります。

この値と2πとの比を計算すれば、

ですから、これまでのアンペアの定義に使用していた、2×10^(−7)と10桁程度は一致していることになります。

そこで、『エッセンシャル電磁気学』では、2.1節（p.43）のように、

値は、「ほぼ」4π×10^(−7) H/mです。

としました。もし「“ほぼ”とはどの程度か」といわれれば、上記のように「10桁程度は一致している」となります。計算問題に使う際には、一致していることを仮定しても問題ないくらいの差なので、p.43の脚注にあるように「本書ではµ_0=4π×10^(−7)とみなして計算に使用します」としました。

なお、真空の誘電率も定義値ではなくなりましたが、こちらは ε_0≒8.85×10^(−12)とか1/4πε_0≒9.0× 10^9とかいった近似値で利用することが多いので、修正はほとんど必要ありませんでした。

まとめ

以上、新しいSI基本単位系について概観し、『エッセンシャル電磁気学』における単位の取り扱いの修正がどうして必要であったか、また従来の定義との差はどの程度かというお話をしました。今回の改定により、特定の物質の性質に依存していた単位がかなり排除され、普遍的な物理定数を用いた定義に置き換えられました。ただし、時間の単位「秒」だけは物質に依存しているので、将来は変わるかもしれません。

キログラムの定義を変える話はずいぶん前からあったようなのですが、キログラム原器を使った質量の定義を130年間も変えられなかったのは、変更に見合った精度を持つ測定方法の開発に時間がかかったためのようです。様々な研究機関が開発した精密測定によって、ようやく自信を持ってプランク定数を定義できるところまで到達したのです。「単位系の改定は一日にしてならず」ということですね。

参考文献
[1]『新しい1キログラムの測り方』、臼田孝、講談社ブルーバックス、2018年。
[2]『新SI単位と電磁気学』、佐藤文隆・北野正雄、岩波書店、2018年。

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（2023/1/27追記）
コメントで誤記のご指摘をいただき、下記のように訂正いたしました。
ご指摘いただきありがとうございました。

（誤）
長さの単位「メートル」は、元来は地球の北極から
赤道までの距離を1万メートルとして決めたのですが、

（正）
長さの単位「メートル」は、元来は地球の北極から
赤道までの距離を1万キロメートルとして決めたのですが、
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『エッセンシャル電磁気学：エネルギーで理解する』
田口俊弘・井上雅彦（共著）

「電気の本質をエネルギーの考え方から理解しよう。」
本書は既存の教科書とは違った切り口の電磁気学の教科書です。電気の本質は空間がもつエネルギーであることを繰り返し示し、また数式のみの記述を避けて言葉と図解で説明することにこだわっています。初学者はもちろんのこと、一度学んだけれどもうまく飲み込めなかった方の復習にも役立ちます。演習問題と解答も完備です。

【目次】
第1章　電界
第2章　電流と磁界
第3章　電磁誘導
第4章　電界中の物質
第5章　磁界中の物質と電気抵抗
第6章　マクスウェル方程式と電磁波