四角形の面積

公式

多角形 $${\mathrm{P_1P_2{\cdots}P_n}}$$ の面積を $${\mathrm{area}(\mathrm{P_1P_2{\cdots}P_n})}$$ で表す.

この文書を通じて四角形 $${\mathrm{ABCD}}$$ について
$${a=\mathrm{AB}}$$, $${b=\mathrm{BC}}$$, $${c=\mathrm{CD}}$$, $${d=\mathrm{DA}}$$ と記す.     また $${\displaystyle s=\frac12(a+b+c+d)}$$ とおく.

公式1（ブラーマグプタの公式）     四角形 $${\mathrm{ABCD}}$$ が円に内接するとき

$$
\mathrm{area}(\mathrm{ABCD}) = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}
$$

が成り立つ.

四角形が円に外接円と内接円の両方をもつとき双心四角形という.

公式2    双心四角形 $${\mathrm{ABCD}}$$ において

$$
\mathrm{area}(\mathrm{ABCD}) = \sqrt{abcd}
$$

が成り立つ.

一般に円に外接する四角形については次が成り立つ.

公式3    四角形 $${\mathrm{ABCD}}$$ が円に外接するとき

$$
\mathrm{area}(\mathrm{ABCD}) = \sqrt{abcd}\sin\frac{A+C}2
$$

が成り立つ.

さらに一般の四角形について以下が得られる.

公式4（ブレートシュナイダーの公式）    四角形 $${\mathrm{ABCD}}$$ において

$$
\mathrm{area}(\mathrm{ABCD}) = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abc\cos^2\frac{A+C}2}
$$

が成り立つ.

証明

公式1

$$
T=\sqrt{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}
$$

とおく.

$${\displaystyle s-a=\frac12(a+b+c+d)-a=\frac12(-a+b+c+d)}$$ より

$$
\begin{array}{cl} 
&(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)\\[3mm]
=&\displaystyle
\frac1{16}(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)
\end{array}
$$

だから

$$
\mathrm{area}(\mathrm{ABCD})
=\frac{T}4
$$

を示せばよい.

$${\triangle\mathrm{ABD}}$$ と $${\triangle\mathrm{CDB}}$$ に余弦定理を適用する.

$$
\begin{array}{lcl}
\mathrm{BD}^2 &= & a^2+d^2-2ad\cos A \\
\mathrm{BD}^2 &= & b^2+c^2-2bc\cos C
\end{array}
$$

$$
2ad\cos A-2bc\cos C = a^2+d^2-b^2-c^2
$$

四角形 $${\mathrm{ABCD}}$$ は円に内接しているから $${\cos A=-\cos C}$$ だから

$$
\cos A = \frac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(ad+bc)}
$$

$${0 < A < 180^{\circ}}$$ より $${\sin A>0}$$ だから

$$
\begin{array}{cl}
& \sin A \\
=&\displaystyle\sqrt{1-\left(\frac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(ad+bc)}\right)^2}
\\[3mm]
= & \displaystyle
\sqrt{\frac{(2ad+2bc)^2-(a^2+d^2-b^2-c^2)^2}{4(ad+bc)^2}}\\[3mm]
=& \displaystyle
\frac{\sqrt{((a+d)^2-(b-c)^2)(-(a-d)^2+(b+c)^2)}}{2(ad+bc)}\\[3mm]
=& \displaystyle
\frac{\sqrt{(a+d+b-c)(a+d-b+c)(-a+d+b+c)(-a+d+b+c)}}{2(ad+bc)}
\end{array}
$$

よって $${\displaystyle\sin A=\sin C=\frac{T}{2(ad+bc)}}$$ である.

円に内接する四角形は凸四角形である.

$$
\begin{array}{lcl}
\mathrm{area}(\mathrm{ABCD})& = &
\mathrm{area}(\mathrm{ABD})+\mathrm{area}(\mathrm{CDB}) \\
&=& \displaystyle\frac12ad\sin A+\frac12bd\sin C\\[3mm]
&=& \displaystyle \frac12(ad+bc)\cdot\frac{T}{2(ad+bc)}
\, = \, \frac{T}{4}\quad \Box
\end{array}
$$

公式2

四角形 $${\mathrm{ABCD}}$$ が円に外接するとき $${a+c=b+d=s}$$
だから $${s-a=c}$$, $${s-b=d}$$, $${s-c=b}$$, $${s-d=a}$$ であり

$$
\mathrm{area}(\mathrm{ABCD})=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}
=\sqrt{abcd}
$$

となる.

公式3

$${\triangle\mathrm{ABD}}$$ に余弦定理を適用する.

$$
\begin{array}{lcl}
\mathrm{BD}^2 &=& a^2+d^2-2ad\cos A\\
& =& a^2-2ad+d^2+2ad(1-\cos A)\\
&=& \displaystyle (a-d)^2+4ad\sin^2\frac A2
\end{array}
$$

同様に $${\displaystyle \mathrm{BD}^2=(b-c)^2+4bc\sin^2\frac C2}$$ である.     さらに, $${a+c=b+d}$$ より $${(a-d)=(b-c)}$$ だから $${\displaystyle\sqrt{ad}\sin^2\frac A2=\sqrt{bc}\sin^2\frac C2}$$ である.
さらに, $${0 < A < 180^{\circ}}$$ かつ $${0 < C < 180^{\circ}}$$ だから

$$
\sqrt{ad}\sin\frac A2=\sqrt{bc}\sin\frac C2\hspace*{3cm} (1)
$$

が成り立つ.

円に外接する四角形は凸四角形だから

$$
\begin{array}{cl}
& \mathrm{area}(\mathrm{ABCD})
\,=\, \mathrm{area}(\mathrm{ABD}) + \mathrm{area}(\mathrm{BCD}) \\
=& \displaystyle \frac12ad\sin A+\frac12bc\sin C\\[3mm]
=& \displaystyle ad\sin \frac A2\cos \frac A2+bc\sin \frac C2\cos \frac C2\\[3mm]
=& \displaystyle \sqrt{ad} \left(\sqrt{ad}\sin\frac A2\right)\cos \frac A2
+ \sqrt{bc} \left(\sqrt{bc}\sin\frac C2\right)\cos \frac C2
\end{array}
$$

(1) より

$$
\begin{array}{cl}
& \mathrm{area}(\mathrm{ABCD})\\
=& \displaystyle
\sqrt{ad} \left(\sqrt{bc}\sin\frac C2\right)\cos \frac A2
+ \sqrt{bc} \left(\sqrt{ad}\sin\frac A2\right)\cos \frac C2 \\[3mm]
=&\displaystyle
\sqrt{abcd}\left(\sin\frac A2\cos\frac C2+\cos\frac A2\cos\frac C2\right)\\[3mm]
=& \displaystyle\sqrt{abcd}\sin\frac{A+C}2
\end{array}
$$

公式4

四角形において少なくとも 1つの対角線は四角形の内部に含まれる.     $${\displaystyle\frac{A+C}2=180^{\circ}-\frac{B+D}2}$$ より $${\displaystyle\cos^2\frac{A+C}2=\cos^2\frac{B+D}2}$$ である.     よって, 対角線 $${\mathrm{BD}}$$ が四角形 $${\mathrm{ABCD}}$$ に含まれると仮定してもよい.

$${\triangle\mathrm{ABD}}$$ と $${\triangle\mathrm{BCD}}$$ に余弦定理を適用する.

$$
\begin{array}{lcl}
\mathrm{BD}^2 &=& a^2+d^2-2ad\cos A\\
&=& b^2+c^2-2bc\cos C
\end{array}
$$

これより

$$
ad\cos A-bc\cos C = \frac12(a^2+d^2-b^2-c^2)\hspace*{3cm}(2)
$$

対角線 $${\mathrm{BD}}$$ が四角形 $${\mathrm{ABCD}}$$ に含まれるとき

$$
\mathrm{area}(\mathrm{ABCD})
=\mathrm{area}(\mathrm{ABD})+\mathrm{area}(\mathrm{BCD})
=\frac12ad\sin A+\frac12bc\sin C
$$

$$
\begin{array}{cl}
&\displaystyle\left(\mathrm{area}(\mathrm{ABCD})\right)^2 \,=\,
\left(\frac12ad\sin A+\frac12bc\sin C\right)^2\\
=&\displaystyle \frac14
\left(a^2d^2\sin^2A+b^2c^2\sin^2C+2abcd\sin A\sin C\right)\\[3mm]
=&\displaystyle \frac14
\left(a^2d^2-a^2d^2\cos^2A+b^2c^2-b^2c^2\cos^2C+2abcd\sin A\sin C\right)\\[3mm]
=&\displaystyle \frac14
\left(a^2d^2+b^2c^2+2abcd\right.\\
&\quad\left.-a^2d^2\cos^2A-b^2c^2\cos^2C+2abcd\cos A\cos C\right.\\
&\quad \left.-2abcd -2abcd\cos A\cos C+2abcd\sin A\sin C\right)\\
=&\displaystyle\frac14\left((ad+bc)^2-(ad\cos A-bc\cos B)^2
-2abcd\left(1+\cos(A+C)\right)\right)
\end{array}
$$

倍角の公式と (2) より

$$
\begin{array}{cl}
&\displaystyle\left(\mathrm{area}(\mathrm{ABCD})\right)^2 \\
=&\displaystyle\frac14\left((ad+bc)^2-\left(\frac{a^2+d^2-b^2-c^2}2\right)^2
-4\cos^2\frac{A+C}2\right) \\[3mm]
=&\displaystyle\frac14\left(ad+bc+\frac{a^2+d^2-b^2-c^2}2\right)
\left(ad+bc-\frac{a^2+d^2-b^2-c^2}2\right)\\
&\displaystyle-\cos^2\frac{A+C}2\\[3mm]
=&\displaystyle\left(\frac{(a+d)^2-(b-c)^2}4\right)
\left(\frac{(b+c)^2-(a-d)^2}4\right)-\cos^2\frac{A+C}2\\[3mm]
=&\displaystyle\left(\frac{a+d+b-c}2\right)\left(\frac{a+d-b+c}2\right)
\left(\frac{b+c+a-d}2\right)\left(\frac{b+c-a+d}2\right)\\[3mm]
&\displaystyle-\cos^2\frac{A+C}2\\[3mm]
=&\displaystyle(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\cos^2\frac{A+C}2
\end{array}
$$

したがって

$$
\begin{array}{cl}
&\displaystyle\mathrm{area}(\mathrm{ABCD})\\
=&\displaystyle
\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\cos^2\frac{A+C}2}
\end{array}
$$

を得る.     $${\Box}$$

独り言

今回は四角形の面積の公式を紹介した.     これらの公式は三角形のヘロンの公式のアナロジーであり,  証明もヘロンの公式と同じ方針で考察することにより得られる.     ただし, 計算はヘロンの公式よりかなりテクニカルである.
この公式の有用性には疑問が残るのだが公式の形は美しい.

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