【離散数学】極大イデアルと素イデアルについてのメモ

極大イデアル

可換環$${R}$$のイデアル$${I}$$について、

$$
J>I→ J=R
$$

素イデアル

可換環$${R}$$のイデアル$${I}$$について、

$$
ab \in I → a\in I または b\in I
$$

証明の例

$${Z_3 \sub Z}$$について、$${Z_3}$$は極大イデアルか、素イデアルか

(i)素イデアルである証明

$$
ab\in Z_3　→  aまたはbが3の倍数 \\よってa\in Z_3 \quad or \quad b\in Z_3
$$

(ii)極大イデアルである証明

$$
\mathbb Z_3 \subsetneq I とする\\a \in I は、a = 3k+1 または a = 3k+2(k \in \mathbb Z)\\ (ア)a=3k+1のとき\\a\in Iかつ3k\in I\\ \therefore1\in I\\\therefore I = \mathbb Z\\\\(イ)a=3k+2のとき\\\begin{aligned}1&=3k+3-a\\&=3(k+1)-a\end{aligned}\\3(k+1)\in Iかつa\in I\\\therefore1\in I\\\therefore\mathbb Z \sub I\\\mathbb Z= I

$$

よって、$${\mathbb Z_3}$$は極大イデアルかつ素イデアル