【離散数学】"同型か?"問題についてのメモ
群G_1とG_2は同型か?問題について
予備知識
群の定義
(a)結合法則が成り立つ
(b)単位元が存在する
(c)逆元が存在する
※群は、群の要素と演算から成り立つ。
(例) G={G, +}同型の定義
$${G_1→G_2}$$への同型写像が存在すること同型写像の定義
準同型写像かつ全単射準同型写像の定義
演算が保存される
$$
G_1 = \{G_1, ⚪︎_1\},G_2=\{G_2,⚪︎_2\}とし、\\
f : G_1→G_2のとき、\\
f(a⚪︎_1 b) =f(a)⚪︎_2 f(b)が成り立つ
$$
証明の手順
①同型写像となるような写像を自分で定義する(well-definedかに注意)
- 閉じているか?
- 全単射か?
②準同型写像であることを示す
$$
f(a⚪︎_1 b) = f(a)⚪︎_2 f(b)
$$
③全射であることを示す
$$
\forall f(a) \in G_2について、\exist a\in G_1
$$
④単射であることを示す
$$
f(a)=f(b) \in G_2のとき、a=b \in G_1
$$
例題
以下のサイトが詳しく書かれている。参考にすると良い。
https://takataninote.com/group/grp-hom.html
2022/7/25 せき