ベクトルの内積・外積と三角関数の加法定理(2)

三角関数の加法定理$${\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta}$$をベクトルの外積を使って証明します。

3次元空間上におけるx-y平面上で話を進めます。

単位円上に2点$${A(\cos \alpha, \sin \alpha), B(\cos \beta, \sin \beta)}$$を取ります。

そして、2ベクトル$${\vec{a}, \vec{b}}$$を$${\vec{a} = \vec{OA} = (\cos \alpha, \sin \alpha), \vec{b} = \vec{OB} =(\cos \beta, \sin \beta) }$$として取ります。

外積の正負を固定するため、$${\alpha < \beta}$$とします。

2ベクトル$${\vec{a}, \vec{b}}$$の外積を2通りで表します。

$${z}$$軸の正の方向に向きを持つ単位ベクトルを$${\vec{e_z}}$$とすると、2ベクトル$${\vec{a}, \vec{b}}$$の外積の定義通りな表現は
$${|\vec{a}||\vec{b}|\sin(\beta - \alpha ) \vec{e_z}=1\cdot 1\cdot \sin(\beta - \alpha ) \vec{e_z} = \sin(\beta - \alpha ) \vec{e_z}}$$

一方、2ベクトル$${\vec{a}, \vec{b}}$$の外積を成分表示すると$${(0, 0, \cos \alpha\sin\beta - \sin\alpha\cos\beta)}$$ですので、2ベクトル$${\vec{a}, \vec{b}}$$の外積は$${(\cos\alpha\sin\beta - \sin\alpha \cos\beta)\vec{e_z}}$$とも表現できます。

$${\sin(\beta - \alpha) \vec{e_z} = (\cos\alpha\sin\beta - \sin\alpha \cos\beta)\vec{e_z}}$$ですので
$${\sin(\beta - \alpha) = \cos\alpha\sin\beta - \sin\alpha\cos\beta}$$

両辺に$${-1}$$を掛けると
$${-\sin(\beta - \alpha) = - (\cos\alpha\sin\beta - \sin\alpha\cos\beta)}$$
$${\sin( \alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta}$$

証明が完了しました。