東大理三軍団が挑んだGS面接問題
とあるYoutubeの企画で、東大の理三軍団（医学部の学生たち）と対決させてもらった。
そこで出題した問題（未放送部分も含む）とその解説を書きました。
問題１ ３つのサイコロ
問題
１から６まで等しい確率で出るサイコロを３個ころがしたとき、合計の数として出やすい数は何か？
正解
10と11
解説
ころがすサイコロを増やしていくと、その分布は平均値を中心にした正規分布に近づくので、平均値に近い整数が最頻値（一番出やすい数）となる。
たとえば、サイコロを２個ころがしたとき、最小は(1,1)が出た場合の２。最大は(6,6)が出た場合の12。平均値は、その真ん中の７。7が一番出やすくなる。
サイコロを３個にした場合は最小は3、最大は18。平均値は10.5になるので、10と11が一番出やすい。
念のために確認すると以下のようになる。
(i)サイコロ２個ころがした場合
2 になる組み合わせは (1,1) の１通り
3 は（1,2）（2,1)の２通り
4 は（1,3）(2,2) (3,1)の３通り
5 は（1,4）(2,3) (3,2) (4,1) の4通り
6 は（1,5）(2,4) (3,3) (4,2) (5,1)の5通り
7 は（1,6）(2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) の6通り
8 は（2,6）(3,5) (4,4) (5,3) (6,2)の5通り
9 は（3,6）(4,5) (5,4) (6,3)の4通り
10 は（4,6）(5,5) (6,4)の３通り
11 は（5,6）(6,5)の2通り
12 は（6,6）の1通り
やはり、7が一番出やすい。
(ii) サイコロ3個ころがした場合
3になるのは１通り
4 は３通り
5 は６通り
6 は10通り
7 は15通り
8 は21通り
9 は25通り
10 は27通り
11 は27通り
12 は25通り
13 は21通り
14 は15通り
15 は10通り
16 は６通り
17 は６通り
18 は1通り
やはり、10と11が出やすいことがわかる。
問題２ ディズニーランドのアンケート
問題
ディズニーランドに来る客は、１グループあたり平均何人なのかを調べようとした。ディズニーランドの客は一人ずつゲートを通って入ってくる。そこで、何人かおきに声をかけて次のような質問をした。
「あなたは、今日、何人で来ましたか？」
その結果、全体の2割が2人と回答して、３割が3人、５割が5人と回答した。
このとき、１グループあたり平均何人だと考えられるだろうか？
正解 3.3人（10/3人）
解説
単純平均をとると、2×0.2+3×0.3+5×0.5=3.8人となる。
しかし、それは一つ一つのグループに対して、同じ割合でたずねた場合の話。今回は、一人一人に対して同じ割合になるように声をかけているので、話が異なる。
仮に全体が1万人いるとする。その２割にあたる2000人が2人グループ。３割にあたる3000人が3人グループ。5割にあたる5000人が5人グループ。
つまり、2人グループ、3人グループ、5人グループがそれぞれ1000組ずつ存在することになる。1万人いて、合計3000グループいるので、１グループあたりの平均人数は1万÷3000＝10/3人となる。
問題３ 25頭の競馬
この問題は、3人の中に正解者がいなかったため、動画の中では紹介されていません。
問題
ここに25頭の馬がいる。何回かレースをして、1番目、2番目、3番目に速い馬を見つけたい。
・1回のレースで走らせるのは５頭だけ
・レースのタイムは計測できない
・レースの結果は順位だけ教えてもらえる
さて、レースは最低何回必要だろうか？
正解７回
解説
まず、５頭ずつを５組に分けて、それぞれで予選レースをする。
そして、予選で１着になった馬a,f,k,p,uの５頭を集めて決勝レースを競わせる。
この決勝レースで1着になった馬fは、全25頭の馬の中で確実に１番速いといえる。しかし、２着のkや3着のpは、全体における２番や３番とはいえない。予選で速い馬とあたったせいで、運悪く予選落ちした馬がいるかもしれないからだ。1番速いfと同じ予選組で走ったgやhは、全体の2番、３番である可能性が残っている。また、決勝２着のkと同じ予選組で2着になったlもまた、全体の３番になる可能性が残っている。
つまり、現時点で全体の２番、３番になれる可能性の馬は、決勝で2着、３着になっているk,p以外にg,h,lの合計５頭。この５頭で2位3位決定レースをして、1着になった馬は確実に全体の２番といえるし、2着になった馬は全体で３番目に速い馬と言える。
予選５レース、決勝１レース、2位3位決定レースの合計７レースが正解となる。
問題４ ガチャコンプのコスト
問題
５種類のフィギュアが入っているガチャがある。5分の１の確率でそれぞれのフィギュアが出てくる。ガチャは一回100円。すべてそろえるためにかかるお金の期待値はいくらだろうか？
正解 約1142円
解説
１種類づつ増やすためにかかる回数を考えていく。
まず、0種類から１種類に増やすまでの回数。これは、当然１回。
次に、１種類から２種類に増やすまでの平均回数Xを考える。
１回引いたとき、1/5の確率で、すでに持っている種類を引いてしまう。このとき、２回目にトライしないといけない。２回目にトライしても、1/5の確率で同じものが出る。すると、さらに4/5の確率で１回目とは別の種類を引くので、その場合は１回ですむ。しかし、1/5の確率で同じものを引く。その場合はもう一度引かないといけない。そして、それも1/5の確率で失敗する。下の図の【解１】のような式になり、この等比級数の和を計算すると5/4回になる。
別の方法でも、考えることができる。
成功までに必要な平均回数をXとしているが、これは4/5の確率で1回で成功し、1/5の確率で１回が無駄になり、またやり直すことになる。つまり、1/5の確率で、成功までに(1+X)回かかることになる。これを方程式にして、Xをとけば、X＝5/4となる【解２】。
同様にして、２種類から３種類にするときの平均回数Xを考える。今度は、失敗確率が1/5から2/5にあがるので、以下のような式になり、平均して5/3回試す必要がある。
このように、3種類から4種類、4種類から５種類に増やすまでの平均回数も同様に計算すると、それぞれ、5/2回、5回 となる。
よって、すべて集めるまでかかる回数の平均は、1+5/4+5/3+5/2+5=137/12
金額は137/12×100円＝約1142円となる。
問題５ 海賊の金貨
5人の海賊A,B,C,D,Eが50枚の金貨を山分けしようとしている。この5人の海賊はA,B,C,D,Eの順に偉い。
山分けするにはルールがある。
その場にいる中で一番偉い海賊がボスとなり（はじめはAがボス）、分配案を提示する。
そして、すべての海賊がボスの案に対して投票をする。
賛成票が反対票よりも多いか、同数だった場合は、その案は可決され、その通りに金貨が配られる。
ところが、反対票が賛成票を上回った場合、案は否決されて、ボスは殺される。そして、次のボスが分配を提示して、投票が行われる。これは、可決されるまで繰り返されます。
この5人の海賊はみんな頭がよくて、合理的に物事を考えることができます。
さて、あなたは海賊Aです。自分の取り分をなるべく多くするには、どのような分配案を示せばいいか？
正解 A48枚、B0枚、C1枚、D0枚、E１枚
解説
簡単に決着するところから、振り返って考えていく。
最後D,Eの2人だけになったとき、可決するために必要なのは１票だけ。【D50枚、E0枚】と提案すれば、自分の票だけで可決することが可能。
では、C,D,Eの3人になったときを考える。可決に必要なのは２票。
Eにとっては、ここで可決されないと、自分の取り分が0枚になってしまうから、1枚でももらえれば賛成する。そのため、Cは【C49枚、D0枚、E1枚】と提案すれば、自分を含めて２票を獲得でき、可決できる。
では、B,C,D,Eの4人のときはどうか。ここで可決できないと、D の取り分は0枚になってしまうから、1枚でももらえれば賛成する。よって、Bは【B49枚、C0枚、D1枚、E0枚】と提案すれば、自分とDの賛成票で可決にもちこめる。
となると、5人全員がいる場合も考えることができる。Aが必要なのは自分を含めて3票。ここで可決されないと、C,Eは取り分が0枚となってしまうので、彼らから賛成票をもらえるような提案をすればいい。
【A48枚、B0枚、C1枚、D0枚、E1枚】と提案すれば、自分を含めて３票を獲得し、可決することができる
第６問 砂漠の郵便屋
砂漠の中に都市Aと都市Ｂがあり、一本道でつながっていて100キロの離れている。
あなたは、都市Aから都市Ｂに郵便を届けたいが、徒歩で届けるしかない。
人は1日10キロ歩くことができ、一人は最大6日分の水と食料を運べる。
都市Aから出発し、無事Ｂに送り届けるには、最低何人の仲間を見つけて出発する必要があるか？
ただし、全員が最終的には都市ＡかＢに
たどりつかないといけない。
※たとえば、３人で出発した場合、4日後には3人の食料は残り2日分ずつになる。合計6日分の食料を1人に持たせれば都市Bに郵便を届けることはできる。しかし、食料が尽きた2人は砂漠の中で餓死してしまうので、これは答えにはならない。
正解 （自分以外に）３人
解説
あなた(a)と、3人の仲間(bcd)の４人で都市Aを出発
2日後、cdが、abに2日分の食料を渡し、都市Aに戻る
4日後、bが、aに2日分の食料を渡し、都市Aに戻る
残ったaは、この時点で6日分の食料を持っているので、都市Bに行ける。
しかし、問題はbだ。都市Aに戻るには4日分の食料が必要なのに、2日分の食料しか持っていないので、このままでは飢え死にしてしまう。
そこで都市Aに戻っているcは、4日後の時点で食料を補給して、再出発する。そうすると、6日後にbと合流することができる。ここで、2日分の食料を渡せば、bとcは無事に都市Aに戻ってこれる。
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