【数字で遊ぼう】中学受験の面白い問題を紹介します！⑨

みなさん、こんにちは！
現役東大生ライターの松岡頼正です。 

この連載では中学入試の面白い問題を、詳しい解説込みで紹介しています。

前回の記事はこちらです。

今回は算数の問題を２つ扱います。
 
どちらも偶数と奇数の性質を利用した、パズルのような非常に面白い問題です。
 
一緒に楽しんでいきましょう！
 
まず１問目はこちらです。 

・2016年度 東大寺学園中学 算数1番（2）

問題文を読むと、四つある整数のうち、一つが奇数、残り三つが偶数ということですね。
 
分かりやすいように、以下の説明では三つの偶数を「グ①」・「グ②」・「グ③」、奇数を「キ」とします。
 
この時、大小関係が分かりやすいように、「グ①＜グ②＜グ③ 」としておきます。
 
ここで前提知識として、奇数と偶数の足し算について確認しておきましょう。

・奇数＋奇数＝偶数
・偶数＋偶数＝偶数
・奇数＋偶数＝奇数 

奇数に１、偶数に２を当てはめて考えると分かりやすいでしょう。
 
以上からわかるように、奇数と偶数を足した時のみ、二つの整数の和が奇数になります。
 
これを頭に入れて問題を見てみましょう。

２個の整数の和の中で、「５５」「６９」「８７」が奇数になっていますね。
 
これはつまり、順に「キ＋グ①」・「キ＋グ②」・「キ＋グ③」が当てはまることを意味します。
 
ここから６９－５５＝１４、すなわち（キ＋グ②）－（キ＋グ①）＝グ②―グ①＝１４であることが分かります。
 
次に、２個の整数の和の中で偶数になっているのは「６２」「８０」「９４」の３つですね。
 
もともとある４個の整数のうち、奇数は１つしかないので、これらはすべて偶数同士の和であることが分かります。

したがって、小さい方から二つを足し合わせた（グ①＋グ②）が６２となるので、グ①とグ②は和が６２、差が１４であることが分かります。
 
ここから、グ①とグ②の和と差をそれぞれ足すと、 

（グ①＋グ②）＋（グ②－グ①）
＝グ②×２
＝６２＋１４
＝７６ 

したがって、グ②＝３８になります。
 
さらにグ①とグ②の和から、差を引いてみると、 

（グ①＋グ②）－（グ②－グ①）
＝グ①×２
＝６２－１４
＝４８ 

したがって、グ①＝２４になります。
 
ということで、２個の整数の和の中で一番小さいのが「５５」なので、 

キ＋グ①＝５５
　　　キ＝５５－グ①
　　　キ＝５５－２４ 

となり、問題の答えは３１だと分かります。 

・2022年度 筑波大学付属駒場中学 算数 1番 

次はこの問題を解いていきましょう。

連続する整数の和を求める問題ですね。
 
この問題で使用する考えは「中央値」です。簡単に言えば「真ん中の数字」ですね。
 
問題を解く前に少し、この中央値について整理しましょう。 

今回の問題では連続する整数しか扱わないので、それを例にして説明します（本来はもっと様々な数字で計算します）。
 
まず、連続する整数の数が奇数の時。
 
例えば、「２・３・４・５・６」の５つの数字があるとします。
 
このとき、真ん中の数字、中央値は４になります。
 
その右にあるのは中央値にそれぞれ１、２を足した数字で、逆に左にある数字は中央値にそれぞれ１、２を引いたものであることがわかります。
 
そしてこれらの和である２０は、中央値である「４」に、連続する整数の個数である「５」をかけた数と同じになります。
 
これは、砂場の砂を平らにするイメージといえば伝わるでしょうか？
 
ある数字から１引いたもの（ｎ－１）と、ある数字から１足したもの（ｎ＋１）の和は、ある数字の２倍（２ｎ）になりますよね。
 
その考え方を拡張させたのが、先ほどの「４×５」の計算です。