【現役東大生が解説】中学受験の面白い問題を紹介します！⑤

みなさん、こんにちは！
現役東大生ライターの松岡頼正です。
 
この連載では中学入試の面白い問題を、詳しい解説込みで紹介しています。
 
前回の記事はこちらです。 

前回の記事の最後では、0と1だけで数を表す二進数について触れました。
 
今回はその二進数の考え方を応用した問題です。記事の最後では「片手で31まで数える方法」も紹介します。
 
それでは、さっそく問題を見てみましょう！
 

・問題 

1, 2, 3, 10, 11, 12, 13, 20, 21, 22, 23, …
 
上の整数の列は、0, 1, 2, 3の4種類の数字を使って1以上の整数を作り、小さい順に並べたものです。ただし、同じ数字は何度も使ってよいものとします。このとき、次の問に答えなさい。
 
(1) 64番目の整数を答えなさい。
(2) 2013は何番目に出てきますか。
(3) 1番目から25番目までに出てくる整数をすべて足すといくらになりますか。

2013年 大阪星光学院中学 算数 入試問題より 

これは典型的な、n進数の問題ですね。
 
与えられた数字の規則性をつかむために、表にして見てみましょう。

この問題では0, 1, 2, 3の数字しか使わないので、位の数が4になるところで繰り上がりが発生します。
 
この表では4番目と8番目のところで、位が上がっていますね。
 
私たちが普段使う数字では10ごとに位が上がるので、10進数と呼ばれます。
 
この問題では4ごとに繰り上がりが起きるので、4進数というわけですね。
 
それでは、問題を順に解いていきましょう。

(1) 64番目の整数を答えなさい。 

(1)の問題を表にすると、こんな感じですね。

表から分かるように、この問題は「普通の数字（10進数）でいうところの64って、4進数で考えるといくつ？」ということです。
 
4進数の前に、まず10進数で位ごとの数字の分け方を考えてみましょう。
 
例えば「321」という数字なら、「3×100＋2×10＋1×1」と分解できます。
 
小さい方から順に1の位、10の位、100の位、…と上がる場合、それぞれの位の数を×10にしてますね。
 
これを4進数に置き換えてみると、「1の位」の次は×4をして「4の位」、その次は×4をして「16の位」、…となっていくのです。
 
では「321」を今度は4進数で考えてみましょう。
 
10進数なら「3×100＋2×10＋1×1」でしたが、今は4進数なので
 
321 ＝ 3×16 ＋ 2×4 ＋ 1×1
　　＝ 48 ＋ 8 ＋ 1
　　＝ 57

となります。

では、問題の「64」は4進数でいくつになるかというと、
 
64＝4×4×4＝4³

と、ちょうど64の位（10進数でいうところの「1000の位」）が1つ分になるので、答えは「1000」ですね。 

(2) 2013は何番目に出てきますか。 

(1)では10進数を4進数にしましたが、今回は逆ですね。
 
つまり、この問題は

「4進数で表された2013」は、10進数ではいくつですか？ 

ということになります。
 
４進数では小さい方から順に1の位、4の位、16の位、64の位なので、
 
2013 ＝ 64×2 ＋ 0×16 ＋ 1×4 ＋ 1×3 ＝135
 
つまり、答えは135番目だと分かります。 

 

(3) 1番目から25番目までに出てくる整数をすべて足すといくらになりますか。 

25番目の数は、25＝16×1 ＋ 4×2 ＋ 1×1 なので、121ですね。
 
1番目から25番目、つまり4進数でいう1から121を足したらいくらになるかということです。