素数の階差を3で割った余りについて

Wolframalphaで
(prime[n+1]-prime[n])mod[3]
を入力した時の出力結果に何かパターンがありそうだなと思って調べて見ました。

以下がn=400までの出力結果です。
恣意的に空白と()を入れてパターンを見やすくしてます。
()内は特に規則なしと解釈しました。

1221 2121 020 121 (0) 020 1201021 212121 
02120 010 0212120 01210 
21 000 (20 12121212 01) (21) 020 010 2121212 010 21210 21210 0200
{ここまでn=100}
10020 10020 012012 (100 20102 121 200)
(12) 0121210 212121 212121 212121 
21002100 (200) 1021201 212 0012100 
20012121002 0100
{n=200}
20010 (210) 2012102 010 020 12121 
02120 0121210 00200 (10 212121 02)
10201 201 201 (210) 212 0 000 0 1201021 
(20) 12121 0000 2121 020
{n=300}
1212 (0) 1212 (100) 2121 0212 0121 
(2001) 02121212120 (0) 102 102 (0) 
10201 (20100002100) 201 201 
(21) 020 (10 2121 02) 
121 (200) 121 02120 1212
{n=400}

結果の1行目にある1201021のように対称的なパターンもあれば、n=100のすぐ後にある10020 10020という連続したまとまりのあるパターンもあります。

ただの奇数の階差なだけなら2しか出力されないのですが、素数の階差だと(恣意的な解釈ではありますが)何かしらのパターンを含んでいることは間違いないかと思います。とはいえ、()内のようにまったくパターンに当てはまらない数列もあるので、一意な規則性があるのやらないのやら。

それにしても、0は連続することがあるのに1と2は連続で出てこないんですね。0をなかったことにしても同様に連続して出てきません。これもまた不思議だなと思いました。