演習2.31, 演習2.32, 演習2.33, 演習2.34, 演習2.35
案内人の涼子です🔑
今回は演習2.31~演習2.35までの解答例になります！
演習2.31
$${A}$$と$${B}$$を正の演算子であるとする。任意の$${\ket{v}, \ket{w}}$$に対して、
$$
\begin{align*}
(\ket{v}\otimes \ket{w}, (A \otimes B)(\ket{v}\otimes \ket{w})) &= \braket{v|A|v} \braket{w|B|w} \\
&\ge 0
\end{align*}
$$
故に、２つの正の演算子のテンソル積は正の演算子である事が示せた。
演習2.32
$${P_1}$$と$${P_2}$$を射影演算子であるとする。
$$
\begin{align*}
(P_1 \otimes P_2)^2 &= (P_1 \otimes P_2)(P_1 \otimes P_2) \\
&= P_1^2 \otimes P_2^2 \\
&= P_1 \otimes P_2
\end{align*}
$$
故に、２つの射影演算子のテンソル積は射影演算子であることを示せた。
演習2.33
題意より、$${H}$$は以下のように書く事ができる。
$$
H=\frac{1}{\sqrt{2}}\sum_{x, y}(-1)^{xy}\ket{x}\bra{y}, (x, y \in \{0, 1\})
$$
この式で$${n}$$個のテンソル積を取った$${H^{\otimes n}}$$が
$$
\begin{align}
H^{\otimes n} = \frac{1}{\sqrt{2^n}}\sum_{x', y'}(-1)^{x'y'}\ket{x'}\bra{y'}
\end{align}
$$
でかける事を数学的帰納法を用いて示す。($${x', y'}$$は長さ$${n}$$の2進数列)
まずは$${n=1}$$の時は明らかになり立っている。
次に、$${n=k(\ge1)}$$の時に式$${(1)}$$が成り立つと仮定すると、$${n=k+1}$$の時、
$$
\begin{align*}
H^{\otimes (n+1)} &= H \otimes H^{\otimes n} \\
&= \frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2^n}}(\sum_{x, y}(-1)^{xy}\ket{x}\bra{y})\otimes(\sum_{x', y'}(-1)^{x'y'}\ket{x'}\bra{y'}) \\
&=\frac{1}{\sqrt{2^{n+1}}}\sum_{x,y}\sum_{x'y'}(-1)^{xy}(-1)^{x'y'}\ket{xx'}\bra{y'y} \\
&= \frac{1}{\sqrt{2^{n+1}}}\sum_{x'',y''}(-1)^{x''y''}\ket{x''}\bra{y''}
\end{align*}
$$
ここで、$${x, y}$$は長さ$${1}$$の2進数列で、$${x', y}'$$は長さ$${n}$$の2進数列で、$${x'', y''}$$は長さ$${n+1}$$の2進数列である。
よって、$${n=k+1}$$も成り立つ事が示せた。
$${H^{\otimes 2}}$$の行列表現は、
$$
\begin{align*}
H^{\otimes 2} &= \frac{1}{\sqrt{2^2}}\sum_{x,y}(-1)^{xy}\ket{x}\bra{y} \\
&= \frac{1}{2}\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & 1 & -1 & -1 \\
1 & -1 & -1 & 1
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$
演習2.34
まず行列に対して特性関数を解き、固有値$${\lambda}$$を出す。
$$
\begin{align*}
det\begin{vmatrix}
4-\lambda & 3 \\
3 & 4-\lambda
\end{vmatrix} &= (4-\lambda)^2 -9 \\
&= \lambda^2-8\lambda+7 \\
&= 0
\end{align*}
$$
これを解くと、固有値は$${2}$$つ存在し、$${\lambda_1= 1, \lambda_2=7}$$である。
これらの固有ベクトルを、
$$
\begin{align*}
\ket{v_1}=\begin{pmatrix}
v_{11} \\
v_{12}
\end{pmatrix}&, \ket{v_2} =\begin{pmatrix}
v_{21} \\
v_{22}
\end{pmatrix} \\
v_{11}, v_{12}, v_{21}&, v_{22} \in \mathbb{C}
\end{align*}
$$
とすると、
$$
\begin{align*}
\ket{v_1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}
1 \\
-1
\end{pmatrix}&, \ket{v_2} =\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$
と導くことができる。ゆえに、問題の行列は$${1\ket{v_1}\bra{v_1}+7\ket{v_2}\bra{v_2}}$$と対角化できる。この行列を$${A}$$とすれば、
$$
\begin{align*}
\sqrt{A} &= \sqrt{1}\ket{v_1}\bra{v_1}+\sqrt{7}\ket{v_2}\bra{v_2} \\
&= \frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\sqrt{7}+1 & \sqrt{7}-1 \\
\sqrt{7}-1 & \sqrt{7}+1
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$
のように行列の平方根をとる事ができる。また、
$$
\begin{align*}
\log{A} &= \log{1}\ket{v_1}\bra{v_1}+\log{7}\ket{v_2}\bra{v_2} \\
&= \frac{log{7}}{2}\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$
のように、行列の対数をとる事ができる。
演習2.35
式の左辺が右辺に変形できることで解を示す。まず$${\vec{v}\cdot\vec{\sigma}≡\sum_{i=1}^3v_i\sigma_i}$$なので、
$$
\begin{align*}
\vec{v}\cdot\vec{\sigma} &= v_1\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} + v_2\begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{pmatrix} + v_3\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
v_3 & v_1-iv_2 \\
v_1+iv_2 & -v_3
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$
と変形できる。問題の様に上の行列に$${i\theta}$$を掛けることは簡単だが、expの演算を行うことはまだできないので、行列のスペクトル分解を行いたい。ゆえに、行列に対して固有値と固有ベクトルを求める。固有値を$${\lambda}$$とすれば、
$$
\begin{align*}
\det(\vec{v}\cdot\vec{\sigma}-\lambda I) &=\begin{vmatrix}
v_3-\lambda & v_1-iv_2 \\
v_1+iv_2 & -v_3-\lambda
\end{vmatrix} \\
&= -(v_3-\lambda)(v_3+\lambda) - (v_1-iv_2)(v_1+iv_2) \\
&= -v_3^2 + \lambda^2 - v_1^2-v_2^2
\end{align*}
$$
$${\vec{v}}$$は任意の$${3}$$次元実数単位ベクトルなので、$${\sum_{i=1}^3v_i^2 =1}$$となることから、
$$
\begin{align*}
\det(\vec{v}\cdot\vec{\sigma}-\lambda I)
&= -v_3^2 + \lambda^2 - v_1^2-v_2^2 \\
&= \lambda^2-1 \\
&= 0\\
∴\lambda &= ±1
\end{align*}
$$
と求めることができ、$${2}$$つの固有値を$${\lambda_1=+1, \lambda_2=-1}$$とする。これらの固有ベクトルを$${\ket{p_1}, \ket{p_2}}$$とすれば、
$$
\vec{v}\cdot{\sigma} = \ket{p_1}\bra{p_1} - \ket{p_2}\bra{p_2}
$$
とスペクトル分解できる。すると、
$$
\begin{align*}
\exp(i\theta\vec{v}\cdot\vec{\sigma}) &= \exp(i\theta)\ket{p_1}\bra{p_1} + \exp(-i\theta)\ket{p_2}\bra{p_2} \\
&= (\cos{\theta}+i\sin{\theta})\ket{p_1}\bra{p_1}+(\cos{\theta}-i\sin{\theta})\ket{p_2}\bra{p_2} \\
&= \cos{\theta}(\ket{p_1}\bra{p_1}+\ket{p_2}\bra{p_2}) + i\sin{\theta}(\ket{p_1}\bra{p_1}-\ket{p_2}\bra{p_2}) \\
&= \cos{\theta}I + i\sin{\theta}\vec{v}\cdot{\sigma}
\end{align*}
$$
となり、証明できた。
おわりに
今回は演習2.31~演習2.35までの解答解説でした！