高校数学１０分プログラミング（数学B編 4.確率分布と統計的な推測）4日目「確率変数の変換を考える２」

MK's papa

2025年1月23日 06:30

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おはようございます。

本日は、高校数学１０分プログラミング（数学B編 4.確率分布と統計的な推測）の4日目です。

本日の課題は、前回（3日目）と同様に、変換された確率変数$${Y}$$に対する期待値と分散を求めるプログラムを作成することです。

確率変数の変換

確率変換の変換について再掲しておきます。

確率変数$${X}$$と定数$${a, b}$$に対して$${Y=aX+b}$$とすると、$${Y}$$も確率変数となり、
期待値　　$${E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b}$$
分散　　　$${V(Y)=V(aX+b)=a^2V(X)}$$
標準偏差　$${\sigma(Y) = \sigma(aX+b) = |a| \sigma(X) }$$

課題

数直線上の原点に点$${\mathrm{P}}$$がある。1枚の硬貨を投げて、表が出ると +3 だけ、裏が出ると -2 だけ進む。この試行を3回繰り返すときの表の出た回数を$${X}$$、点$${\mathrm{P}}$$の座標を$${Y}$$とする。
このとき、 $${Y}$$を$${X}$$で表して$${Y}$$の期待値と分散を求めるプログラムを作成してください。

解法の２つの方法

今回の課題は2つの方法で$${Y}$$の期待値と分散を計算することができます。1つ目は確率変数$${X}$$、変換した確率変数$${Y}$$に対する確率分布を求めて、直接、確率変数$${Y}$$の期待値と分散を計算する方法です。前回（3日目）はこちらの方法を利用してプログラムを作成しました。2つ目は確率変数$${X}$$の期待値と分散を計算した後、上記で説明した「確率変数$${X}$$の期待値と分散」と「確率変数$${Y}$$の期待値と分散」との関係式を利用して確率変数$${Y}$$の期待値と分散を計算する方法です。今回はこちらの方法を利用したプログラムを作成します。

アルゴリズム設計

まず、課題の「$${Y}$$を$${X}$$で表して」を考えます。3回繰り返すときの表の出た回数を$${X}$$としているので、3回繰り返すときの裏の出た回数は$${3-X}$$となります。一方、$${Y}$$の値は、「表が出ると +3 だけ、裏が出ると -2 だけ進む」となっていますので、

$$
Y= (+3) \times X + (-2) \times (3-X) = 5X-6
$$

となります。確率変数$${X}$$に対する確率分布が

$$
\begin{array}{c||cccc|c}
\hline
X & 0 & 1 & 2 & 3 & \mathrm{計} \\
\hline \\
P & \frac{1}{8} & \frac{3}{8} & \frac{3}{8} & \frac{1}{8} & 1 \\ \\
\hline
\end{array}
$$

となるので、$${X}$$に対する期待値と分散を計算したあと、上記で示した変換した確率変数$${Y}$$の期待値や分散と$${X}$$の期待値や分散公式との関係式を利用して確率変数$${Y}$$の期待値と分散の計算を行うことができます。

プログラム

今回の課題の$${Y}$$の期待値と分散を関係式を利用して求めるプログラムを示します。

// 関係式を用いた、変換された確率変数の期待値と分散の計算
void setup(){

  // 硬貨を３回投げた時の表が出る回数（確率変数）
  int[] x = {0,1,2,3}; 
  // 確率分布P
  float[] p = {1.0/8.0, 3.0/8.0, 3.0/8.0, 1.0/8.0};

  // 確率変数を変換するときの係数
  int a = 5;
  int b = -6;

  // 確率変数Xの期待値の計算
  float m_x = 0;
  for(int i=0;i<x.length;i++){
    m_x = m_x + x[i]*p[i];
  }
  
  // 確率変数Xの分散の計算
  float v_x = 0;
  for(int i=0;i<x.length;i++){
    v_x = v_x + (x[i]-m_x)*(x[i]-m_x)*p[i];
  }
  
  // 変換された確率変数Yの期待値と分散の計算
  float m_y = 
  float v_y = 
  
  // 変換された確率変数の期待値と分散の値をコンソールに出力
  println("期待値　：", m_y);
  println("分散　　：", v_y);
  
}

ソースコード1　$${Y}$$の期待値と分散を関係式を利用して求めるプログラム（未完成）

ソースコード1では、確率変数の値を表す変数（配列）x とその確率分布を表す変数（配列）p を準備して、まず、確率変数$${X}$$の期待値 m_x 、分散 v_x を求めたあと、関係式を用いて変換された確率変数$${Y}$$の期待値 m_y 、分散 v_y を計算して最後にそれらの結果をコンソールに出力しています。
ただし、変換された確率変数$${Y}$$の期待値 m_y 、分散 v_y を計算する部分は未完成です。

  // 変換された確率変数Yの期待値と分散の計算
  float m_y = 
  float v_y =

この計算の部分を追記してソースコード1を完成させてください。

なお、スケッチ名は「transformedProbabilityVariable2」としてください。

それでは、よろしくお願いします。