当選率1%のくじは100回で引ける？ある重要定数との関係性【確率】【ガチャ】
皆さんは確率を信用していますか？
ギャンブルやソーシャルゲームのガチャなどで、十分に試行回数を積んだのにもかかわらず当たりが引けない、、、なんて経験はありませんか？こういう出来事が続くとその確率は嘘なのでは？と思ってしまうこともあります。
この記事はそんな疑問を持ったことのある方ために書きました！
★ 1/○の確率は○回に１回起こる？
よく確率が１／○として表記されるとき、その確率は○回に1回起こるという表現をされることがあります。しかしあくまで○回に1回起こることは約束されているわけではありません、
裏表がそれぞれ１／２ででるコイントスでは、2回コインを投げても裏表が各１回ずつ得られるなどという約束は全くなく、表、または裏が2回連続で得られてしまうことは十分に起こり得ます。
そもそも確率というのはその出来事の起こりやすさを表す指標であって、この○回に1回というのは起こりやすさの目安でしかありません。ちなみにこの○回の意味についてはこちらの記事で詳しく解説しています
つまり、当選率１％のレアキャラは100回ガチャを引いたからと言って当たることが確定しているわけではないのです！
そこで、確率１／○の出来事が○回で引ける確率を求めてみます！実はこれを求めることにより、あることが分かります。
★ 確率を実際に計算してみよう！
確率１／○、の "○" ことをここでは "確率分母" と呼ぶことにします。パチンカーにとってはお馴染みの言葉ですね（笑）ちなみに確率分母という言葉は数学にはありません、パチンカーによる造語らしいです（笑）では様々な確率分母で等倍ハマりの確率を求めてみましょう！
■ 確率分母：２ の場合
まず当たり確率１／２のくじを2回以内に引ける確率を考えましょう。この場合ハズレの確率も１／２となります。すると、
・1回目に当たりを引く確率は 1/2
・1回目に当たりを引けず、2回目で当たりを引く確率は 1/2 × 1/2 = 1/4
よって2回以内に当たりを引く確率は 1/2 + 1/4 = 3/4
となります。この３／４という値はこのようにも求められます。
2回以内に当たりを引く場合というのは、全ての場合から2回以内に当たりを引けない場合を除いた場合となります。よって、全ての場合の確率１００％（＝１）から2回以内に当たりを引けない確率を引いた値が、２回以内に当たりを引く確率となります。つまり
1 - 1/2 × 1/2 = 3/4
とも求めることができます。後者の求め方の方が、場合分けがなく簡単に求まります。
いずれにせよ、１／２を2回以内に引く確率は３／４＝７５％とわかりました。
■ 確率分母 : ３の場合
当たる確率が１／３ならばハズレの確率は２／３となります。よって3回以内に１／３を引く確率は3回連続でハズレを引かない確率なので、
1 - 2/3 × 2/3 × 2/3 = 19/27 = 0.7037
となります。１９／２７は約７０％です。
■ 確率分母 : 1０の場合
このときハズレの確率は９／１０となります。１０回以内に１／１０を引く確率は１０回連続でハズレを引かない確率なので
1 - 9/10 × 9/10 × ... × 9/10 = 0.6513
となり、１／１０を１０回以内に引ける確率は約６５％です。
■ 確立分母 : １００の場合
１／１００とは、いわゆる当選確率１％のことです。ハズレ確率は９９／１００。これを１００回以内に引ける確率は、
1 - 99/100 × 99/100 × ... × 99/100 = 0.6340
よって、ガチャを１００回引いて１％のレアキャラを引ける確率は約６３.４％で起こるということになります。
■ さらに確率分母を大きくしてみる
確率分母を３１９とすると、
１／３１９を３１９回以内に引ける確率は６３.２７％
確率分母を８１９２とすると、
１／８１９２を８１９２回以内に引ける確率は６３.２１％
確立分母を６５５３６とすると、
１／６５５３６を６５５４６回以内に引ける確率は６３.２１％
と、色々な数で○回以内に当たる確率を求めましたので１回まとめてみます。
確率分母 ー 確率
２ ー ７５.００％
３ ー ７０.３７％
１０ ー ６５.１３％
１００ ー ６３.４０％
３１９ ー ６３.２７％
８１９２ ー ６３.２１％
６５５３６ー ６３.２１％
お気づきでしょうか？確率分母を大きくすると、なんと等倍ハマり確率は６３％という値に収束しています！
★ ○回までに当たる確率は収束する！
まずここまでの結論としては、ある程度確率が小さい値であれば、等倍ハマる確率というのは約６３％ということです。逆に、○回以内に当たらない確率、いわゆる等倍ハマる確率というのは約３７％存在します。
この３７％という確率は、分数表記だと１／２.７となります。等倍ハマりの確率がこの値なので、
２倍ハマりの確率は、１／２.７ × １／２.７ ≒ １／７.３ = １４％
３倍ハマりの確率は、１／２.７ × １／２.７ × １／２.７ ≒ １／２０ = ５％
よくパチンコの遊タイムは通常時大当たり確率の確率分母の約３倍ハマることで発動することが多いですが、０ハマりから遊タイムに達する確率は地味に５％もあるんです。
この、２.７という数字を覚えておけば、攻略サイトに載っているような数倍ハマり確率をすぐ計算できるようになります！特に遊タイムが搭載されている台などで、遊タイム残り回転数が大当たり確率の確率分母の何倍かを求めれば、この台を打てばどのくらいの確率で遊タイムに突入するかを事前に計算できます。
ということで、今回は○回までに引ける確率は収束するという内容の記事でした♪ ２.７という数だけでも覚えてくれると嬉しいです！ありがとうございました♪
、、、
さて、こっからはめちゃくちゃ理系寄りの内容になります！（笑）気になる人だけ読んでください！笑
★ なぜ６３％に収束する？
数学の世界では、たまたまこの値に収束するといったことはなく、収束は必然であり収束先の値も一意に定めることができます。この６３％という数字は一体どこから出てきたのでしょうか？
先ほど確率分母を大きくしていって○回以内に当たる確率を求めましたが、その値は６３.２１％に収束しました。
つまり等倍ハマりする確率は正確には３６.７９％で、これを分数表記すると正しくは１／２.７１８となります。ここでピンときた方は完全に理系ですね（笑）
■ 世界一美しい数式
いきなりですが、皆さんは世界一美しい数式と言われたら何を連想しますか？1+1=2 とかですかね？（笑）数学界には一応、世界一美しい数式と呼ばれるものがあります。それは、"オイラーの等式"です。
オイラーの等式には、５つの超重要な定数が登場します。
0 ... 足し算の単位元 (足しても変わらない数)
1 ... 掛け算の単位元 (掛けても変わらない数)
π ... 円周率 (=3.141592...)
e ... ネイピア数 (=2.71828...)
i .... 虚数単位
それぞれがどういう数なのかはさておき、これは大野くん櫻井くん相葉くんニノ松潤がいなければ嵐が成立しないように、この５つの数が存在しなければ今の数学はほぼ全く成り立っていないと言っても過言ではない数なんです。
ではなぜこんなものを紹介したかというと、この５つの数のうち１つが等倍ハマりの確率の収束値と関係があるからなんです。
等倍ハマりの収束値は１／２.７１８、上の５つと関係がある数、、
、、、
そうです、ネイピア数です！１／２.７１８の分母とネイピア数は一致しています。結果としていうと、等倍ハマりの確率は、確率分母を大きくしていくと１／ｅに収束します。
■ ネイピア数って誰？
この記事ではネイピア数について深く語るつもりは全くありませんが、超絶ざっくりいうとネイピア数とはグラフを支配している数です。なぜ２.７２がグラフを支配？と思うかもしれませんが、それは円周率がなぜ３.１４？という疑問と全く一緒ですのでそーゆーものなんだーと思ってください（笑）
一応、ネイピア数には定義があって
こんな感じ（笑）数学をやらない人からしたらなんだこれって感じですね。対して、等倍ハマる確率というのは確率分母をnとしたとき、n回外れる確率のことを言います。このときハズレを引く確率は１ー１／ｎです。これを式で表すと、
あれ、意外と似てますね（笑）結果がちょっと似ているのも納得でしょうか？笑
ちなみに上の式についているlimというのはnの値をめちゃくちゃ大きくしなさいという指示を出す記号です。下の式でも同じようにlimをつけてnをめちゃくちゃ大きくすると、結果は１／ｅになるんです！この証明はこの記事ではしませんが、大学受験の数学を中心に解説している鈴木貫太郎さんがこちらの証明をしているのでどうしても気になるって人はこれをみてください！
★ 結論 : 等倍ハマりの確率は1/eに収束する
ということでくじに関する話をしました！この話には数学の超重要定数の一つであるネイピア数 e (≒2.7)というものが登場しました。確率分母が大きくなると、
確率分母の回数以内に当たる確率は １−１／ｅ （≒６３％）
確率分母の回数ハマる確率は １／ｅ （≒３７％）
ということでした。いろいろと難しい話をしてしまいましたが、この記事で伝えたかったことは普段打っているパチンコやパチスロにもこのような数学的要素が関係しているということです！数学というのは奥が深くて面白いですよ〜！ギャンブルと数学は意外と関係があって、以前このような記事も書いていますのでよかったら読んでください♪
ということで以上です！ありがとうございました♪
MATHぱち！では機種の数学的解析動画を中心にYoutubeに動画をアップしていますのでよろしければご覧ください♪