2020年東京大学理系第６問
こんにちは。しろ＠です。
自分が受験した年の受験校の問題を全部取り上げるシリーズ第１弾（東大）もいよいよ最終回！今回は2020年東京大学理系第６問です！
大学卒業に伴い引っ越しがあったので、投稿が遅れてしまいました。正式に卒業が決まったので、来年度からは晴れて大学院生です！
問題
問題は次の通りです。
以下の問いに答えよ。
(1) $${A, \alpha}$$を実数とする。$${\theta}$$の方程式
$$
A\sin2\theta-\sin(\theta+\alpha)=0
$$
を考える。$${A>1}$$のとき、この方程式は$${0\leqq\theta<2\pi}$$の範囲に少なくとも４個の解を持つことを示せ。
(2) 座標平面上の楕円
$$
C:\displaystyle\frac{x^2}{2}+y^2=1
$$
を考える。また、$${0< r<1}$$を満たす実数$${r}$$に対して、不等式
$$
2x^2+y^2<r^2
$$
が表す領域を$${D}$$とする。$${D}$$内のすべての点$${\mathrm{P}}$$が以下の条件を満たすような実数$${r\quad(0< r<1)}$$が存在することを示せ。また、そのような$${r}$$の最大値を求めよ。
条件：$${C}$$上の点$${\mathrm{Q}}$$で、$${\mathrm{Q}}$$における$${C}$$の接線と直線$${\mathrm{PQ}}$$が直交するようなものが少なくとも４個ある。
(1)はいかにも中間値の定理って感じですよねー。４個の解を持つことを示す必要があるので、たくさんの値を代入しないといけなさそうです。
(2)「条件」を見ると、(1)の結果が使えそうです。おそらく問題文の設定を数式に起こしていくと、(1)の方程式が出てくるのでしょう。「やってみればできそう」感はある。
＊プリンターの設置環境が変わったので、ちょっと解像度がガビガビかも…
解答
解説
(2)のグラフめっちゃ色ついてるんだが…本当は色つけてないです。
まず、(1)です。$${\sin2\theta}$$も$${\sin(\theta+\alpha)}$$もせいぜい$${1}$$までしかとることができません。ここで、$${A>1}$$の条件が効いてきます。$${\sin2\theta=1}$$となるような$${\theta\left(=\displaystyle\frac{\pi}{4}, \displaystyle\frac{5}{4}\pi\right)}$$に対しては、$${A\sin2\theta>1}$$となるので、$${\sin(\theta+\alpha)}$$はどうあがいても$${A\sin2\theta}$$を打ち消すことができません。$${\sin2\theta=-1}$$となるような$${\theta\left(=\displaystyle\frac{3}{4}\pi, \displaystyle\frac{7}{4}\pi\right)}$$に対しても同様のことが言えます。
しかし、このままでは代入する値が４つしかなく、解を３つ持つことまでしか言えません。そこで、区間の端っこ$${\theta=0, 2\pi}$$も調べましょう！$${\sin\alpha}$$が$${0}$$以上か$${0}$$未満かによって、$${0\leqq\theta<\displaystyle\frac{\pi}{4}}$$か$${\displaystyle\frac{7}{4}\pi<\theta<2\pi}$$のどちらかに解を持つことが分かります！
ここまでは確実に得点したいところです。
続いては(2)ですが、楕円$${C}$$とその内部にも楕円板$${D}$$があるという状況です。示したい主張は「すべての$${\mathrm{P}}$$に対して、１つでも$${r}$$が存在すること」です。このことを見失わないようにしましょう。（$${\forall}$$とか$${\exists}$$をはじめとした述語論理を学ぶと意識できるようになりますが、高校数学ではやらないので…）
まず初動は、$${C}$$上の点$${\mathrm{Q}}$$の座標と$${D}$$内の点$${\mathrm{P}}$$の座標を具体的においてみましょう。というのも、直交の条件を数式で表したいからです。
初めに$${\mathrm{Q}}$$ですが、$${C}$$は楕円なので、$${\mathrm{Q}(\sqrt{2}\cos\theta, \sin\theta)\quad(0\leqq\theta<2\pi)}$$とおけます。
次に$${\mathrm{P}}$$ですが、$${D}$$は楕円板なので、$${\mathrm{P}\left(\displaystyle\frac{p}{\sqrt{2}}\cos\varphi, p\sin\varphi\right)\quad(0\leqq p < r, 0\leqq\varphi<2\pi)}$$とおけます。
さて、座標を設定できたら「$${\mathrm{Q}}$$における$${C}$$の接線$${\perp}$$直線$${\mathrm{PQ}}$$」を数式で表しましょう！方針としては、①$${\mathrm{Q}}$$における$${C}$$の接線の方向ベクトルと$${\overrightarrow{\mathrm{PQ}}}$$の内積が$${0}$$、②$${\mathrm{Q}}$$における$${C}$$の法線が点$${\mathrm{P}}$$を通る、が挙げられます。他にもあるかな？
②法線の方は、$${y=\cdots}$$の形で直線の方程式を書いてしまうと、$${y}$$軸に平行な場合を表せなくなってしまうので、$${ax+by=c}$$の形で書く必要があります。①ならそういう心配もないので、解答では①を採用しました。
①$${\mathrm{Q}}$$における$${C}$$の接線の方向ベクトルと$${\overrightarrow{\mathrm{PQ}}}$$の内積が$${0}$$であるという式を計算すると、次の式に辿り着きます。
$$
\sin2\theta-2p\sin(\theta-\varphi)=0
$$
(1)に出てきた方程式とほぼ同じになりました！本当は両辺を$${2p}$$で割りたいところですが、$${p=0}$$もとりうるのでその点に注意する必要があります。$${p=0}$$を代入してみると、$${\theta=0, \displaystyle\frac{\pi}{2}, \pi, \displaystyle\frac{3}{2}\pi}$$となり、４つの解を持ちます。これは条件を満たす$${\mathrm{Q}}$$が４個あることを示しています！だからオッケー。
これで晴れて$${2p}$$で割ることができます。
$$
\displaystyle\frac{1}{2p}\sin2\theta-\sin(\theta-\varphi)=0
$$
ここで(1)の結果を思い出しましょう。まず$${\theta}$$について、たまたま(1)と(2)で同じ文字になりましたが、どちらも$${0\leqq\theta<2\pi}$$なので問題ありません。次に、$${\varphi}$$と$${\alpha}$$についてですが、今回は$${-2\pi<-\varphi\leqq0}$$で、(1)では$${\alpha}$$が実数だったので、(1)の条件を満たします。
さて、最後に$${p}$$と$${A}$$についてです。(1)の主張は$${A>1}$$で成り立つ主張だったので、$${\displaystyle\frac{1}{2p}>1\Leftrightarrow0< p<\displaystyle\frac{1}{2}}$$であればどんな$${p}$$に対しても(1)の結果を適用できます。ゆえに、$${0< r\leqq\displaystyle\frac{1}{2}}$$のとき、$${p}$$は$${0\leqq p<\displaystyle\frac{1}{2}}$$以外の値はとらないので、このような$${r}$$に対しては(1)の主張が成り立つということを意味しています！
これで$${r}$$の存在は言えました。次はその最大値ですが、安易に$${r=\displaystyle\frac{1}{2}}$$と答えてはいけません。(1)の主張はたしかに$${A>1}$$では正しいのですが、$${A\leqq1}$$では正しくないというわけではありません！その点をきっちり調べておく必要があります。
$${A\leqq1}$$の場合というのは、(2)では$${r>\displaystyle\frac{1}{2}}$$の場合に該当します。このような$${r}$$に対して、$${0\leqq p < r}$$を満たすすべての$${p}$$と$${0\leqq\varphi < 2\pi}$$を満たすすべての$${\varphi}$$で条件が成り立つのであれば、その$${r}$$も最大値の候補になってしまいます。
ですが、おそらく$${r=\displaystyle\frac{1}{2}}$$が答えですよね…という予想をします。つまり、$${r}$$が$${\displaystyle\frac{1}{2}}$$を少しでも超えると、$${0\leqq p < r}$$を満たす$${p}$$と$${0\leqq\varphi < 2\pi}$$を満たす$${\varphi}$$で条件を満たさないものが存在することを言いたい！１つでもそのような$${p, \varphi}$$の組を見つければいいので、適当に値を代入します。
$${r}$$が$${\displaystyle\frac{1}{2}}$$を少しでも超えたら条件を満たさなくなるということは、$${p=\displaystyle\frac{1}{2}}$$を調べたくなります。$${\varphi}$$の方は頑張って探すしかないのですが、$${\varphi=\displaystyle\frac{7}{4}\pi}$$を代入すると、$${\theta=\displaystyle\frac{\pi}{4}, \displaystyle\frac{11}{12}\pi, \displaystyle\frac{19}{12}\pi}$$の３つしかない（解答における$${n=1}$$と$${m=-1}$$が同じ$${\theta=\displaystyle\frac{\pi}{4}}$$で被る）ので、条件を満たしません！というわけで、答えは本当に$${r=\displaystyle\frac{1}{2}}$$だと分かりました。
最後にコメント
個人的な難易度は「やや難」です！まさに「やや難」という感じ。「やや難」代表の背番号１０番。
自分が受験したときは(1)だけ解いて、(2)はちょっと考えて無理そうだと思い捨ててしまいましたが、こうして改めて解いてみると非常に良問ですね！2020年のセットで一番の良問かも。やればできるけど計算が面倒という問題をよく見ますが、本問はそういう複雑な計算は必要ないし、数学的に本質的なことを問うているのがポイント高いです。東大がどういう学生を求めているのかがよく分かる１問でした。
個人的な事情で、2023年北海道大学理系を解いたのですが、第６問がこれに近い形式の問題でした。正直この問題の方が良問ですね！さすが東大という感じがしました。（気になる人は北大の問題も解いてみてください。）
(1)の中間値の定理も、代入する値がそこまで自明というわけでもないし、区間の端っこの値も代入しないといけないので、東大の(1)としてはちょうどいいと思います。中間値の定理を勉強した理系生にとっても良い練習問題になりそう。
(2)は聞かれていることがよく分からなくなってしまいますが、命題「$${0<{}^\exists r<1\quad\mathrm{s.t.}\quad0\leqq{}^\forall p< r,\quad f(\theta)}$$の根が４つ」が真であることを示し、そのような$${r}$$の最大値を求める問題だ、ということをしっかり意識すれば解ける問題です！$${p, \varphi}$$の組を見つけるところは時間がかかるので、本番で解き切るのは大変だと思いますが。
2020年のセットを全体として見てみると、難易度の順番は、
第１問$${\leqq}$$第２問$${\leqq}$$第３問$${<}$$第５問$${\leqq}$$第６問$${<}$$第４問
というのが個人的な評価になります！$${=}$$を入れまくっているところに優柔不断さが滲み出ている。どの問題も良い問題ばかりのセットだと思います！
さて、これで2020年東京大学理系の問題はすべて取り上げました。次は早慶どちらにしようかと考えたのですが、今年2024年の早稲田大学理工学部の問題で出題ミスがあったことが話題になっているので、次回は2020年早稲田大学理工学部の問題を取り上げます！なんと2020年も出題ミスがあったんですよね〜。どうなってるんだ早稲田大学！
最後までお読みいただきありがとうございました。もしよろしければ、次回以降の記事も読みいただけると嬉しいです。
それでは、また次の記事で。
2024.03.12
しろ＠