直観とちがう数学

という本を、図書館で見つけて借りてきました。

直感とちがう数学

一つ目の問題が、
「35人のクラスの中で、誕生日が同じペアが１組以上いる確率は」という問題が載っていました。
さて、どれくらいだと思いますか？

これは、余事象という考え方を使う問題でよくあるものです。ある事象以外の確率なんですが、確率はすべての事象の確率を合計すると１になるので、ある事象以外の確率を１から引いたものが対象の確率の考え方です。　例えば、サイコロで偶数の目が出る確率は、2，4，6が出る確率なので3/6= 1/2とすぐわかるのですが、１－奇数の出る確率でも計算できるわけです。

同じように、最初の問題は、1組以上のペアがいる確率は、『１－全員がばらばらの誕生日の確率』となります。1人目は365日中、どの日でもいいので365日、365／365となります。2人目は1人目とは違う日なので、365日中364日でOKなので364／365、三人目は最初の二人と違う日なので365日中363日・・・・35人目は34人と違うので331日から選ぶということになります。
これを計算式にすると

$$
p0= (365 \times 364 \times 363 \ldots \times 331 )/ 365^{35}
\\\fallingdotseq0.186
$$

となり、計算すると大変なのですが19％ほどとなり、35人全員の誕生日が違う確率がわかります。1組以上ペアがいる確率は全員がバラバラの余事象なので1－19％で、81％くらいの確率で一人以上同じ誕生日がいることになります。ちなみに、自分の小学校の時は田舎だったので、学年40人弱だったのですが、たしかに1月6日生まれのペアがいましたね。それ以外はバラバラでした。

自分と同じ誕生日の人がいる確率は、34人が自分と違う誕生日の確率の余事象になるので、全員が365日中、自分の誕生日と違う日364日を選べばいいので、

$$
1 - (364/ 365)^{34} \fallingdotseq 0.08
$$

で8％ほどなので、10倍くらい違うことがわかります。このあたりが直感と違うかんじですね。

さて、ここからちょっと話を複雑にします。
80％以上で一組以上ペアがいるとすると、1組だけペアの確率ってどれくらいだと思いますか？

まず、35人中、誕生日が一緒になる1組の組み合わせは
35人から2人選ぶので、

$$
{}_{35}C_2 = 35 \times 34 \div 2=595通り
$$

35人中誕生日が34通りある確率と掛け合わせると、、
33％くらいになります。やっぱり1組だけいる確率が一番高くなりそうです。

さらに、2組のペアがいる確率って。。。。組み合わせがいろいろ多くなって大変そうです。

ちなみに、一番確率が低い組み合わせは・・・・
そうですね、全員が同じ誕生日。。　まぁ、そんなことあったら、大事件ですね。