社会人のための学び直し数学【高校数学２次関数編その２】

２．2次関数のグラフ

　実数は数直線上の点の位置で表現できます。例えば一辺の長さが $${1}$$ の正方形の対角線と同じ長さのヒモを用意し，その左端を基準点 O（実数の $${0}$$ に対応する点）におき，それがたるまないように数直線上においたとき右端の位置が $${\sqrt{2}}$$ という実数です。

逆に数直線上の一点は必ずある実数に対応しています。よって，数直線上の点の位置を指定するには，実数を一つ指定すればよいのです。

　平面上の点の位置についてはどうでしょう。今度は一つの直線上だけでなく，縦と横の面上の広がりをもった中での点の位置になります。それにはまず，基準点 O（実数の $${0}$$ に対応する点）を通る，二本の直交する直線を引きます。中学数学でも扱う座標平面です。この座標平面上で例えば $${(3，5)}$$ の点の位置を指定してみましょう。横の数直線（普通，水平に引いた直線で，これを $${x}$$ 軸といい，右向きを正とする直線）上で，実数 $${3}$$ を目盛り，縦の数直線（先の $${x}$$ 軸に垂直に引いた直線で，これを $${y}$$ 軸といい，上向きを正とする直線）上で，実数 $${5}$$ を目盛ります。そして，それぞれの実数から，互いの軸に平行に線を引いて，その交わったところが点 $${(3，5)}$$ の位置となります。

このように，平面上の点の位置を指定するには，実数を二つ指定すればよいのです。そして，点 A $${(a，b)}$$ を与えたとき，$${a}$$ を点 A の $${x}$$ 座標，$${b}$$ を点 A の $${y}$$ 座標といいます。

　それでは，$${y=x^2}$$ という $${x}$$ についての 2 次関数を座標平面上で表すことを考えてみましょう。まず，$${y=x^2}$$ の $${x}$$ に具体的な数値を代入して，それに対応する $${y}$$ の値を表に書いてみます。

そして，これを座標平面上にとると，図 2-1 のようになります。

図 2-1

二つの異なる実数の間には，その二つの実数と異なる実数を必ず見出せるので，上の表のような $${y=x^2}$$ を満たす点 $${(x，y)}$$ をすべて集めたものを図示すると，図 2-2 のような放物線になります。（物を放り投げたときの，その物の描く軌跡が文字通りの放物線です。）

図 2-2

この放物線を 2 次関数のグラフといいます。

　次は，座標平面上でのグラフの移動について考えます。
上述の通り，2 次関数のグラフは放物線となりますが，普通 $${y=f(x)}$$ という関数があれば，その関数に特有のグラフを描くことができます。（例えば $${a，b}$$ を定数とすると $${x}$$ の 1 次関数 $${y=ax+b}$$ のグラフは直線になります。）
ここで，$${y-q=f(x-p)}$$ と $${y=f(x)}$$ のグラフの関係を考えます。
$${x-p=X，y-q=Y}$$ とおくと $${y-q=f(x-p)}$$ は $${Y=f(X)}$$ と書けるので，そのグラフの形状は $${y=f(x)}$$ と一致します。ところが，実際の $${x，y}$$ は $${x=X+p，y=Y+q}$$ を満たすので，$${y=f(x)}$$ 上の点 $${(X，Y)}$$ について，$${X}$$ に $${p}$$ を，$${Y}$$ に $${q}$$ を加えたものとなっていて，これは，$${y=f(x)}$$ 上の点 $${(X，Y)}$$ のすべてについていえることなので，結果，$${y-q=f(x-p)}$$ は，$${y=f(x)}$$ のグラフを $${x}$$ 軸方向に $${p}$$，$${y}$$ 軸方向に $${q}$$ 移動したものになります。これを $${y-q=f(x-p)}$$ のグラフは $${y=f(x)}$$ のグラフを $${x}$$ 軸方向に $${p}$$，$${y}$$ 軸方向に $${q}$$ 平行移動したものであるといいます。

　ところで，図 2-2 の放物線の $${(0，0)}$$ という点に着目すると，その左側と右側でグラフの様子が変化することがわかります。点 $${(0，0)}$$ の左側では，$${x}$$ の値が増加するにつれて $${y}$$ の値が減少しています。式で表すと $${x_1＜x_2＜0}$$ に対して $${f(x_1)＞f(x_2)}$$ です。逆に点 $${(0，0)}$$ の右側では，$${x}$$ の値が増加するにつれて $${y}$$ の値が増加しています。式で表すと $${0＜x_1＜x_2}$$ に対して $${f(x_1)＜f(x_2)}$$ です。（$${x_1}$$ や $${x_2}$$ の添え字の $${1}$$ や $${2}$$ は，二つの $${x}$$ 座標が異なることを表現するために付けたものです。）
さらに，点 $${(0，0)}$$ を通り $${x}$$ 軸に垂直に立てた直線（図 2-2 の場合は特に  $${y}$$ 軸）から等距離にあるグラフ上の点の $${y}$$ 座標はどれも等しくなっています。別の言い方をすると，点 $${(0，0)}$$ を通り $${x}$$ 軸に垂直に立てた直線（$${y}$$ 軸）でグラフを折り返すと，直線の左側と右側がぴったり重なるのです。この $${x}$$ 軸に立てた直線を，グラフの対称軸といい，点 $${(0，0)}$$ を放物線の頂点といいます。

　すると，$${y-2=(x-3)^2}$$ すなわち $${y=(x-3)^2+2}$$ のような 2 次関数のグラフの様子がわかってきます。$${y-2=(x-3)^2}$$ のグラフは $${y=x^2}$$ のグラフを $${x}$$ 軸方向に 3，$${y}$$ 軸方向に 2 平行移動したものであり，平行移動によって頂点は頂点に移動し，対称軸は $${x}$$ 軸方向に 3 だけ移動して $${y}$$ 軸が $${x=3}$$ という直線（直線 $${x=3}$$ は $${y}$$ の値によらず $${x}$$ 座標が 3 である直線を表しているので，点 $${(3，0)}$$ を通る $${x}$$ 軸に垂直な直線）になるはずです。すなわち，2 次関数 $${y-2=(x-3)^2}$$ あるいは $${y=(x-3)^2+2}$$ の頂点の座標は $${(3，2)}$$ であり，対称軸の式は $${x=3}$$ となります。
【注】$${y=(x-3)^2+2}$$ はこれを展開して整理すると $${y=x^2-6x+11}$$ と書くことができます。自ら確認して見てください。

　一般に 2 次関数 $${y=ax^2}$$ のグラフを $${x}$$ 軸方向に $${p}$$，$${y}$$ 軸方向に $${q}$$ 平行移動したグラフは，
2 次関数 $${y=a(x-p)^2+q}$$
　または
$${y=ax^2-2apx+ap^2+q}$$
のグラフとなります。よって，2 次関数 $${y=ax^2+bx+c}$$ を考えるとき $${y=ax^2-2apx+ap^2+q}$$ と比べることで，$${b=-2ap，c=ap^2+q}$$ から

$$
p=-\dfrac{b}{2a}，q=-\dfrac{b^2-4ac}{4a}
$$

となるので，2 次関数 $${y=ax^2+bx+c}$$ のグラフは
　点 $${\left (-\cfrac{b}{2a}，-\cfrac{b^2-4ac}{4a}\right)}$$ を頂点
　$${x=-\cfrac{b}{2a}}$$ を対称軸
とする放物線となるのです。

練習問題　2 次関数 $${y=2x^2+4x+7}$$ のグラフの頂点の座標を求めよ。

【答】$${(-1，5)}$$
【解説】$${y=ax^2+bx+c}$$ とすると $${a=2，b=4，c=7}$$ だから
頂点の $${x}$$ 座標は

$$
-\cfrac{4}{2×2}=-1
$$

頂点の $${y}$$ 座標は

$$
-\cfrac{4^2-4×2×7}{4×2}=5
$$

以上より，頂点の座標は $${(-1，5)}$$ である。