社会人のための学び直し数学【高校数学三角関数編その３】
３．正弦定理
単位円周上に点を取り，その点と原点を結んだ半径が $${x}$$ 軸の正の向きとなす角を $${θ}$$ とすると，点の座標は
$$
(\mathrm{cos}θ，\mathrm{sin}θ)
$$
と書けることが前回の内容でした。
今回，そして次回の 2 回の記事では $${θ}$$ を $${0≦θ≦π}$$ に限定し，図形の計量をおこなう上で強力な道具となる，2 つの定理を紹介します。
今回は正弦定理です。
準備として，中学数学で学習する円周角の定理を確認しておきましょう。（円周角の定理の証明については，中学数学の円周角に関する記事の中で取り上げます。）
次の図３-１で点 $${\mathrm{O}}$$ は円の中心，点 $${\mathrm{A，B，P}}$$ はそれぞれ円周上の点です。
点 $${\mathrm{A}}$$ から反時計回りに円周をなぞって点 $${\mathrm{B}}$$ に至る円周の一部を弧 $${\mathrm{AB}}$$ とし，弧 $${\mathrm{AB}}$$ を含まない円周上の任意の点を $${\mathrm{P}}$$ とすると，$${∠\mathrm{AOB}}$$ が弧 $${\mathrm{AB}}$$ に対する中心角，$${∠\mathrm{APB}}$$ が弧 $${\mathrm{AB}}$$ に対する円周角です。このとき，弧 $${\mathrm{AB}}$$ に対する中心角の大きさと円周角の大きさの間に $${∠\mathrm{AOB}=2∠\mathrm{APB}}$$ という関係が成り立ちます。これが円周角の定理です。まとめると「同じ弧に対する円周角は全て等しく，その大きさは中心角の半分になる」です。
もう一つ準備です。角度 $${θ}$$ の範囲を $${0<θ<\cfrac{π}{2}}$$ とし（この範囲の角度を鋭角といいます）て，三角関数 $${\mathrm{sin}θ，\mathrm{cos}θ}$$ と直角三角形との関連を確認しておきます。
角度 $${θ}$$ の範囲を $${0<θ<\cfrac{π}{2}}$$ の範囲に限るのであれば，座標平面の第 1 象限（座標平面上で $${x>0，y>0}$$ となっている部分）に，図３-２のような直角三角形を描くことができます。
この直角三角形を，辺の長さと三角関数 $${\mathrm{sin}θ，\mathrm{cos}θ}$$ の値がどのように関連するか，さらに角度 $${θ}$$ と三角関数 $${\mathrm{sin}θ，\mathrm{cos}θ}$$ との位置関係がどうなるのかがわかるように描いた図が図３-３です。
言葉で表現すれば，斜辺の長さが 1 の直角三角形では，その一つの鋭角 $${θ}$$ と向かい合う辺の長さが $${\mathrm{sin}θ}$$ で，鋭角 $${θ}$$ を挟んでいる斜辺でない方の辺の長さが $${\mathrm{cos}θ}$$ になるということです。
そして，角度 $${θ}$$ を固定して図３-３の直角三角形の斜辺の大きさを $${r}$$ 倍に拡大すれば，これは元の直角三角形と相似な直角三角形なので，斜辺以外も $${r}$$ 倍に拡大されて，図３-４の直角三角形になります。
言葉で表現すれば，斜辺の長さが $${r}$$ の直角三角形では，その一つの鋭角 $${θ}$$ と向かい合う辺の長さが $${r\mathrm{sin}θ}$$ で，鋭角 $${θ}$$ を挟んでいる斜辺でない方の辺の長さが $${r\mathrm{cos}θ}$$ になるということです。
それでは，正弦定理の説明に入りましょう。三角形の 3 つの頂点が全て円周上にあるとき，この三角形は円に内接するといい，円は三角形の外接円です。
ここで，図３-５のように，$${△\mathrm{ABC}}$$ の内部に外接円の中心がある場合を考えましょう。また，頂点 $${\mathrm{A}}$$ と向かい合う辺 $${\mathrm{BC}}$$ の長さを $${a}$$ とし，$${∠\mathrm{BAC}}$$ を単に $${A}$$ と書くことにします。さらに，外接円の半径を $${R}$$ であるとします。
そして，点 $${\mathrm{A}}$$ をこの位置から円周上で点 $${\mathrm{C}}$$ に向けて時計回りに，辺 $${\mathrm{BA}}$$ が円の中心を通るようになるまで回転させ，その位置を $${\mathrm{A}'}$$ としましょう。
すると，円周角の定理から $${∠\mathrm{BAC}=∠\mathrm{BA'C}=A}$$ であり $${∠\mathrm{A'OB}=π}$$（弧 $${\mathrm{A'B}}$$ に対する中心角）なので，$${∠\mathrm{A'CB}=\cfrac{π}{2}}$$（弧 $${\mathrm{A'B}}$$ に対する円周角）となります。
すなわち $${△\mathrm{A'BC}}$$ は直角三角形なので，$${a=2R\mathrm{sin}A}$$ が成り立ち（直角三角形で $${a}$$ が角 $${A}$$ と向かい合う辺の長さになっていて，斜辺の長さが $${2R}$$ となることに注意），
$$
\cfrac{a}{\mathrm{sin}A}=2R
$$
となります。
この関係は $${△\mathrm{ABC}}$$ の残りの 2 つの内角と，その内角に向かい合う辺についても，同様に考えることができるので，$${∠\mathrm{ABC}=B}$$，$${∠\mathrm{BCA}=C}$$，$${\mathrm{CA}=b}$$，$${\mathrm{AB}=c}$$ とすれば
$$
\cfrac{a}{\mathrm{sin}A}=\cfrac{b}{\mathrm{sin}B}=\cfrac{c}{\mathrm{sin}C}=2R……(☆)
$$
が成り立ちます。これが正弦定理です。
実は，ここまでの $${△\mathrm{ABC}}$$ は必ず鋭角三角形（3 つの角が全て鋭角になる三角形）なので，説明が不十分です。
$${A=\cfrac{π}{2}}$$，さらに $${\cfrac{π}{2}＜A＜π}$$（この範囲の角度を鈍角といい，一つの内角が鈍角の三角形を鈍角三角形といいます）となる場合について説明をします。
まず，$${A=\cfrac{π}{2}}$$ の場合ですが，これは $${△\mathrm{ABC}}$$ が $${\mathrm{BC}=a=2R}$$ を斜辺とする直角三角形であり，$${\mathrm{sin}\cfrac{π}{2}=1}$$ なので (☆) が成り立つことは問題ないでしょう。
$${\cfrac{π}{2}＜A＜π}$$ のときはどうでしょうか？
これには，一つ準備が必要です。$${\mathrm{sin}(π-θ)=\mathrm{sin}θ}$$ という公式を確認しましょう。
図３-７で動径 $${\mathrm{OP}}$$ の角度は $${θ}$$ で，動径 $${\mathrm{OP}}$$ と $${y}$$ 軸に関して対称な動径 $${\mathrm{OQ}}$$ の角度は $${π-θ}$$ となります。この図から一目瞭然，$${\mathrm{sin}(π-θ)=\mathrm{sin}θ}$$ です。さらに$${\mathrm{cos}(π-θ)=-\mathrm{cos}θ}$$ も読み取れるはずです。準備終わり。
［参考］角度 $${θ}$$ が $${\cfrac{π}{2}＜θ＜π}$$ となっているときは，図３-７の $${\mathrm{P，Q}}$$ の角度を入れ換えればいいので，上の結論に変化はありません。
図３-８で $${∠\mathrm{BAC}=A}$$ とすると，$${A}$$ は鈍角（ $${\cfrac{π}{2}＜A＜π}$$ ）であり，$${∠\mathrm{BA'C}=π-A}$$ となります。なぜなら，点 $${\mathrm{A}}$$ を含まない弧 $${\mathrm{BC}}$$ に対する中心角と，点 $${\mathrm{A'}}$$ を含まない弧 $${\mathrm{CB}}$$ に対する中心角の和は $${2π}$$ なので，$${∠\mathrm{BAC}+∠\mathrm{CA'B}}$$ という弧 $${\mathrm{BC}}$$，弧 $${\mathrm{CB}}$$ に対する円周角の和は $${π}$$ となるからです。（円に内接する四角形 $${\mathrm{ABA'C}}$$ の特徴の一つともいえます。）
すると $${△\mathrm{BA'C}}$$ は鋭角三角形で，前述の通り
$$
\cfrac{a}{\mathrm{sin}∠\mathrm{BA'C}}=2R
$$
となるのですが，$${\mathrm{sin}∠\mathrm{BA'C}=\mathrm{sin}(π-A)=\mathrm{sin}A}$$ なので，
$$
\cfrac{a}{\mathrm{sin}A}=2R
$$
となります。また，ほかの 2 つの角度は鋭角で，これは説明済みです。よって正弦定理 (☆) が成り立ちます。
ところで，三角形があれば，それは鋭角三角形，直角三角形，鈍角三角形のいずれかですから，すべての三角形に対して正弦定理が成り立つのです。
【練習問題】$${△\mathrm{ABC}}$$ において $${\mathrm{BC}=1}$$，$${\mathrm{CA}=\sqrt{2}}$$，$${∠\mathrm{ABC}=\cfrac{π}{4}}$$ のとき $${∠\mathrm{CAB}}$$ を求めなさい。
【答】$${\cfrac{π}{6}}$$
【解説】
$${∠\mathrm{BAC}=θ}$$ として，下の図の三角形に正弦定理を適用する。
正弦定理から $${\cfrac{1}{\mathrm{sin}θ}=\cfrac{\sqrt{2}}{\mathrm{sin}\cfrac{π}{4}}}$$
両辺の逆数をとって $${\mathrm{sin}θ=\cfrac{\mathrm{sin}\cfrac{π}{4}}{\sqrt{2}}=\cfrac{\cfrac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}=\cfrac{1}{2}}$$
よって，$${θ=\cfrac{π}{6}}$$
[注] $${\mathrm{sin}θ=\cfrac{1}{2}}$$ となるとき，$${θ=\cfrac{π}{6}，\cfrac{5}{6}π}$$ が考えられますが，三角形の内角の和は $${π}$$ であることから，$${θ=\cfrac{5}{6}π}$$ はあり得ません。
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