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【高校物理】力学分野 「原則編」　　　　　

マナ物理

私が毎年行っている「早朝物理講習」を 𝕏 上で再現しようという試みです。
力学の基本から実戦問題までを扱います。
公式の導出も可能な限り行っていきます。
特に，力学問題の取り組み方に重きをおき，
受験生が誤るポイントなどにも触れていこうと考えています。
問題の選定にあたっては，
・ 力学の考え方が体系的に学べる
・ 解いて楽しい，新たな発見がある
この２点を念頭に置きました。

力学分野「原則編」で，力学問題の解き方を学んだ後，
「さまざまな運動編」で，身の回りで見られる運動を扱う予定です。


【原則編１】 
「力のつり合い」(講義・例題)
  電気通信大学 過去問解説

物理基礎の教科書は，
速度，加速度の定義から始まり，等速度運動，等加速度直線運動，
重力だけを受ける運動（自由落下・水平投射・斜方投射）を扱います。
そして，そのあとで「力のはたらき」へと入っていきます。
しかし，加速度が生じるのは「力」がはたらいた結果です。

この講義では，
「力のベクトルの描き方（作図の仕方）」を紹介したあと，
入試問題を解きながら物理用語（物理独特の言い回し）についても
説明していきます。


【原則編２】 
「等加速度運動」(講義・例題)

等加速度運動の公式を導出して，例題を１問解きます。
初速度，初期位置，変位，速度，速さ，加速度，相対速度など，
教科書を見て，再度，定義を押さえておきましょう。
「等加速度運動問題の解法」も示しておきました。
やはり基本は「作図をすること」です。
相対運動に関しては，後ほどこの【原則編】で改めて取り上げます。


【原則編３】 
「等加速度運動」(実戦問題)
  工学院大学(1986年) 過去問解説

等加速度運動の問題を探してみると，
テニスやバスケットボールなど，スポーツに関するものが見つかります。
もうちょっと夢のある入試問題がないかと探してみたら，ありました！
ちょっと設定に問題点はありますが，
実戦問題①は，なかなか楽しい問題です。
毎年，実戦問題②で「束縛条件」の紹介をしています。
ただし講習では，「座標軸のとり方」に重きを置いて解説しています。


【原則編４】 
「斜方投射と自由落下」(講義・例題)
  河合塾第２回全統私大・短大模試(1990年)
  ＜改題＞ 過去問解説

「斜方投射と自由落下」 味もそっけもない名称の問題ですが，
現象としてはものすごく興味深いものがあります。
「なぜ空中で衝突するのか」の考察では，
水平方向の運動と鉛直方向の運動の双方からのアプローチ，
そしてベクトルを使った「視点を移動」させた見方などを紹介しました。

この現象の具体例を長年見てきましたが，
例題はなかなかうまい設定を見つけたなと個人的に感心しています。


【原則編５】 
「運動方程式」(講義・例題)

いよいよ力学の核心である「運動方程式」です。
「運動方程式」を力学の第１の原理におく参考書もあります。
運動方程式の使い方をこれから学んでいきましょう。
糸の運動方程式を立てることで導いた
「軽い(質量の無視できる)糸の両端の張力の大きさは常に等しい」
という事実は重要です。

例題２の最後の「素朴な疑問」は毎年受講生に問う問題で，
問われると返答に困ってしまう者が多数出ます。
「運動の法則」の理解度が問われます。

ポスト内でも紹介していますが，運動の３法則の解説動画です。
どこからでも観ることができます。

【原則編６】 
「運動方程式」(実戦問題)
  武蔵工業大学(1985年)・
  北海学園大学＜改題＞ 過去問解説  

運動方程式の立て方をの手順として，まず初めに，
「１つの物体に注目する」があります。
「部分」に注目するのか「全体」(物体系) に注目するのか，
もしくは「両方」ということもありえます。
この「視点の移動」を意識しながら問題を解いていきましょう。

ポスト内でも紹介していますが，
下は，北海学園大学（実戦問題②）の問題解説動画です。


【原則編７】
「フックの法則・弾性力」(講義・例題)
  早稲田大学理工学部(1962年)・
  早稲田大学教育学部＜改題＞ 過去問解説    

【原則編５・６】で運動方程式の立て方・基本を押さえました。
ここからは，
運動方程式(の右辺)に現れるさまざまな力の性質を学んでいきます。
まずは「弾性力」。
ばねのような弾性体が変形して元の形に戻るときにはたらく力です。
変形が小さいときに成り立つ「フックの法則」を使って，
並列つなぎ，直列つなぎのときの「合成ばね定数」を求めましょう。
また，フックの法則にしたがわないゴムひもの扱い方についても
入試問題を通して考察していきます。

例題２が笠原邦彦さんにリポスト（リツイート）されました。

https://x.com/ILP_bot/status/1790728864450457884


【原則編８】
「摩擦力」(講義・例題)
  東北大学(1972年) 過去問解説    

摩擦力は運動を妨げる向きにはたらきます。
この「運動を妨げる」というのがなかなかくせもので，
「接触している面に対しての運動」であることが重要です。

静止摩擦力と動摩擦力の区別に関しては，
例えば，
積み重なった２枚の板全体（物体系）は動いているけれど，
上の板が下の板に対して動いていないならば，
２枚の間にはたらく摩擦力は静止摩擦力となります。
また，動いているベルトコンベア上で，
物体につけられた糸の張力とベルトコンベアからの摩擦力が
つり合って物体が「静止」しているとき，
その摩擦力は「動摩擦力」となります。


【原則編９】
「抵抗力(空気抵抗力)」(講義・例題)
  東京大学(1977年)＜改題＞ 過去問解説    

空気抵抗力は，大学入試問題などで出題されるときには，
「速さ 𝒗 に比例する」という条件であることが多いです（例題２）。
しかし，2023年の共通テスト(本試)の大問２のように，
「速さ 𝒗 の２乗に比例する」と考えるとうまくいく，
という設定も見られるようになりました。
理論的には高校物理範囲外であったとしても，
その結論だけ利用して実験結果をうまく説明する，
というような問題はこれからも出題されるでしょう。


【原則編10】
「液体中における圧力・浮力」(講義・例題)
  名古屋大学(2000年) 過去問解説    

物体が水の中で受ける「浮力」は，
上面と下面にはたらく水圧による力の差によって生じる，
と教科書にはあります。
そして「水圧」は，水の重さによって生じる，とあります。
この２つを合わせると，浮力は鉛直下向きに働くことになります。
…どこで間違えてしまったのでしょうか。

例題は，「アルキメデスの原理」を大前提として，
秤(はかり) は何をはかっているのかを問うています。
感覚で解くのではなく，その瞬間瞬間で式を立てて考察しよう。
力学において，瞬間に注目して立てられる式は，
「運動方程式」「力のつり合い」です。


【原則編11】
「相対運動」(講義・例題)
  センター試験本試験 物理ⅠA(2002年)
  倉敷芸術科学大学(1997年) 過去問解説  

相対速度・相対加速度・相対変位など，
「相対運動」は受験生が苦手としているものの一つです。
公式どおり相対速度を求めるならば当てはめるだけですが，
問題文に相対速度が与えられ，そこから速度を求める問題や，
そこに運動量保存則が絡んできたりすると，途端に解けなくなります。
まずは一次元での相対速度を押さえた上で，
平面運動での相対速度の公式を導いて，それを使えるようになろう！


【原則編12】
「相対運動」(実戦問題)
  慶應義塾大学理工学部・大阪大学
  過去問解説 

相対運動の実戦問題を２問。
これらの問題は「慣性力」を利用しても解くことができますが，
ここでは「相対加速度」を使って解いてください。


【原則編13】
「慣性系・非慣性系，慣性力」(講義・例題)
  九州工業大学(2000年) 過去問解説

慣性力（inertial force または fictitious force）は不思議な力です。
fictitious（架空の）という単語で表されるように，
「見かけの力」とよばれることもあります。
加速度運動する観測者にしか見えない力であり，
この力には反作用がありません。…不思議です。
後ほどこの講義で扱う「遠心力」も慣性力の一種です。

問題文に「地上で静止している観測者の立場から考える」
という指定がありますが，
ここでは「加速するエレベータ内の観測者の立場」からも考え，
同じ結論が得られることを確認します。

注：細かいことを言うと，
[３](７)を「地上で静止している観測者の立場から考える」と，
一定加速度で上昇するエレベータの床に，鉛直投射されたおもりが衝突する
という非常に複雑な運動となります。
ここは，相対加速度もしくは慣性力で考えるのが自然でしょう。


【原則編14】
「慣性系・非慣性系，慣性力」(実戦問題①②)
  東京電機大学(1986年)・九州大学(1972年)
  ＜改題＞ 過去問解説

「慣性力」問題を２問。
実戦問題①は聖文社の全国大学入試問題詳解では《やや難》という評価。
初速度を与えた際の斜面上の物体の運動は静止系で述べるのは難しく，
斜面上の観測者(加速度系)から見ると単純な運動となります。

また，実戦問題②の設定は，大学入試問題でよくみかけるもので，
2023年にも同じ問題が東京医科歯科大学で出題されました。
（途中までまったく同じ問題でした…）
ただし東京医科歯科大学は問題文中に静止座標系を与え，
運動方程式からそれぞれの加速度を求め，
相対加速度で議論を進めていくものでした。


【原則編15】
「慣性系・非慣性系，慣性力」
  (実戦問題③④⑤)
  河合塾第１回全統記述模試(1996年)＜改題＞
  ・関西学院大学 過去問解説

「慣性力」問題をあと３問。
実戦問題③は，
問題の流れとしては静止系で考えるという誘導が入っていましたが，
こちらで改変して，加速度系で考えるようにしました。
「摩擦力は最後に図示する」は鉄則です。向きも含めて考えてください。

実戦問題④は，
図示させる問題ですが，
それぞれの観測者から見た軌道を説明できるようにしてください。

実戦問題⑤は，
慣性力のはたらく向きと大きさを考慮して，ばねの伸びを答えさせる問題。
非接触力である「重力」と「慣性力」を先に図示して，
弾性力(ばね)は最後に考えます。
「宇宙船は描かない」こともポイントのひとつです。

ただし最近の入試問題は，加速度系で「慣性力」を考えさせるのではなく，
静止系で運動方程式を立てさせ，足りない条件は束縛条件で補っていく
という傾向が多いように感じます。


【原則編16】
「仕事と運動エネルギー」(講義・例題)
  東北大学 過去問解説

運動方程式を立てて，加速度を求めて，速度や変位の時間変化を探る…
「原則編」のこれまでの範囲では，基本的に「時間追跡」をしてきました。
しかし力学問題の解法は「時間追跡」だけではありません。

今回の講義から力学問題の新たな解法を手に入れることになります。
「はじめの状態」と「あとの状態」の２つの状態に注目をする解法です。
どのような力がはたらき「あとの状態」になるかを考えることで，
「あとの状態」のさまざまな物理量を求めることができます。

まずは「仕事と運動エネルギーの関係」から。
「エネルギー」という言葉は日常的に使いますが，
その定義を説明しろ，と言われてもなかなか難しいと思います。

「運動エネルギー」が速さの２乗に比例するということ
を実感する場面はボーリングのときかもしれません。
（ペットボトルのキャップと簡易速度計を使った「ボーリングゲーム」
を紹介している本があります → 「枠を超えよ」(著者：辻本明彦)）


【原則編17】
「力学的エネルギー」(講義・例題)
  宇都宮大学(2013年) 過去問解説

物体にのみ注目すれば，「仕事と運動量の関係」。
全体(系)に注目すれば，「力学的エネルギーの変化」を考えよう。
全体というのは，「ばねそして重力場などの空間」を含みます。
非保存力に仕事をされれば，力学的エネルギーは変化をし，
非保存力に仕事をされなければ，力学的エネルギーは保存します。

「今，何に注目をして式を立てるのか」
今後はこの視点をもって力学問題に取り組む必要があります。


【原則編18】
「力学的エネルギー」(実戦問題)
  静岡大学(1976年)・九州大学(1975年)
  岡山大学(2017年)＜類題＞ 過去問解説

力学的エネルギー実戦問題を３問。
それぞれ初見ではなかなか解くのが難しい問題です。
重力場(空間)まで含めた「全体」に注目をして解いてみよう。

実戦問題②(九州大学の問題)は，
「浮力にされた仕事」を考えてほしい問題なのですが，
金属球が高さ 𝒉 下がり，その分位置エネルギーが減少し，
その代わりに，同じ体積の水の球の高さが 𝒉 上がり，
その分の位置エネルギーが増加する，という見方もあります。
(金属球と同じ体積の水球を入れ替えたと考えます)

実戦問題③(岡山大学の類題)は，初出は信州大学であり，難問。
重力による位置エネルギーの基準を
小球 𝐀 と小球 𝐁 とで別々にとることができます。
結局，位置エネルギーの変化量が求まればいいのです。


【原則編19】
「なぜ力学的エネルギーが保存するのか」
  (講義) 
  金沢大学(1991年)・北里大学医学部(2019年)
  東京工業大学(2016年) 問題設定考察

「力学的エネルギー保存則より」「力学的エネルギーが保存するので」
と問題集には書かれているけれど，
「なぜ力学的エネルギーが保存するのか？」
と問うと即座には答えられない設定というのはよくあります。

「摩擦力がはたらかないので」「内力のみなので」
などと理由めいたことを書いている問題集はありますが，
本来それらは理由にはなりません。
摩擦力がはたらかなくても垂直抗力が仕事をすることはあるし，
2 物体系で内力と考えられる動摩擦力がそれぞれの物体に仕事をし，
それらの和が 0 にならないことは普通に起こり得ます。

今回の講義では，３つの問題設定について，
なぜ力学的エネルギーが保存するのか，を検証していきます。
キーワードは「束縛条件」です。

二体問題の力学的エネルギー保存則導出は下の動画で。
２体問題 なぜ力学的エネルギーが保存するのか その１
２体問題 なぜ力学的エネルギーが保存するのか その２

「束縛条件」に興味をもった人は，「特講 束縛条件」をどうぞ。
今回扱った入試問題もこの中で扱っています（出題パターン１と３）。
探してみてください！


【原則編20】
「力積と運動量」(講義・例題)
  京都工芸繊維大学(1986年)・
  大学入学共通テスト本試験(2023年)
  過去問解説

「力積と運動量の関係」は「仕事と運動エネルギーの関係」とともに
問題を解く上で常に意識をしたい視点です。
例題１：日常生活で無意識に行っている行動やよく見かける現象にも
力学的な理由があることが分かります。
例題２：力学でよく見かける放物線の接線の特徴をまとめておきました。
例題３：２つの保存則の成立条件が分かりますかと問うています。

「力積と運動量の関係」の導出および例題１に関しては
解説動画をつくっています。
動画内で「力学的に興味深いニュース」について触れています。
なぜ膝を曲げるの？ 力積と運動量の関係

また，運動量保存則の導出および大相撲の力学的な考察もしています。
小兵力士が勝つには？ 運動量保存則


【原則編21】
「科学マジック」(実演・解説)

マッチ棒２本を使った科学マジックです。
まずは動画を観て，力学的に考察をしてください。
なぜ上のマッチ棒ははね上がるのか？
スロー動画でも一瞬なので，撃力を受けていると考えられます。

理科教材を企画･開発･販売しているナリカの公式アカウント
から「いいね」をいただきました。なんか嬉しい…

マッチ棒マジック（無音）YouTube動画

音楽をつけた動画もつくっています（音量注意！）。
マッチ棒マジック（音楽あり）YouTube動画


【原則編22】
「力積と運動量」(実戦問題①②)
  滋賀医科大学(2011年)・千葉大学(1991年)
  過去問解説

力学的エネルギー保存則や運動量保存則は立てられるけれど，
「仕事と運動エネルギーの関係」や「力積と運動量の関係」
は立てられない受験生が多いことが気になります。

今回の実戦問題は少しレベルが高い問題です。
運動量保存則を成分ごとに立て（誘導がなければベクトル図を描く），
力学的エネルギー保存則と連立させたときの式変形を含んでいます。
どの運動に注目するか，どの物体系に注目するか，
を判断する訓練（問題演習）をしていきましょう。


【原則編23】
「力積と運動量」(実戦問題③④⑤)
  九州工業大学(1975年)<改題>・
  神戸大学(1986年)・同志社大学<改題>
  過去問解説

力積と運動量の実戦問題をあと３問用意しました。
今回は特に注意を要する問題です。
実戦問題③
木材の固定を外して弾丸を撃ちこむと，動摩擦力によって，
弾丸は減速し，木材は加速します。
弾丸が木材の中を進んだ分，弾丸と木材の移動距離に差が生まれる
ことに注意です。
すなわち，動摩擦力によってなされた仕事は相殺しません。
実戦問題④
スキーヤーが斜面に入射するときの角度は分からないけれど，
入射するときの速度の水平成分と鉛直成分が分かっているので，
「速度(運動量)の成分の成分分け」(斜面に垂直・平行方向)を行います。
実戦問題⑤
数値計算ですが，まずは文字式で考えてみよう。
文字式だと，どこで考え違いをしてしまったかが分かります。
さらに，問題文中に「あるキーワード」があるので，
この問題は鉛直方向で運動量保存則を立てることができます。
そのキーワードを探してみてください。


【原則編24】
「重心の運動」(講義・例題)
  名古屋大学(1971年)<改題>・
  東京工業大学<改題> 過去問解説

重心は，互いに位置を変えることができる２つの物体でも定義できます。
重心の位置の公式は，力のモーメントの項で登場します。
しかしその公式の両辺は時間微分すると，
分子に「運動量の和」が出てきます。
さらに時間微分すると，分子は「受ける力の和」になります。
面白い（興味深い）ことが起こりそうな気がしませんか？


【原則編25】
「衝突・はね返り係数」(講義・例題)
  宮崎大学(1986年)・東京大学 過去問解説

いよいよ原則編の最後のテーマ「はね返り係数(反発係数)」です。
はね返り係数の定義式から，はね返る高さ・はね返る時間を考えます。
はね返り係数は衝突前後の速度(速さ)の比で定義されるのですが，
元の高さとはね返る高さを定規で測れば，その値が求められます。

一直線上の２物体の衝突におけるはね返り係数の式は，
運動量保存則と連立することが多いです。
(完全)弾性衝突のときは，
はね返り係数の式の代わりに力学的エネルギー保存則を立てることも可能
ですが，２次方程式になるのであまりおススメしません。
「はね返り係数の式」をまずは立ててみてください。

はね返り係数については以下の動画で説明しています。
「原則編25」で扱った問題の解説も行っています。
はね返り係数(反発係数)その１ 床との衝突
はね返り係数(反発係数)その２ ２球の衝突
はね返り係数(反発係数)その３ 練習問題


【原則編26】
「衝突・はね返り係数」(実戦問題①②③)
  北九州市立大学後期日程(2020年)＜改題＞・
  大阪大学(1981年) 過去問解説

はね返り係数(反発係数)を使った実戦問題を２問解こう。
実戦問題①の(3)は，毎年私が講習で必ず扱う問題です。
生徒に実際に計算させるのですが，ミスなしに解くことは難しい。

実戦問題②はさまざまな問題集に取り上げられた問題です。
「物理標準問題精講」(旺文社)では《難》と評価されていました。
…が，現在は普通の標準問題です。

実戦問題③は，まず何をすべきかが問題に示されていません。
重力加速度の大きさも与えられていないので自分でおく必要があります。
平面的な運動を記述するには直交する２つの座標軸が必要
→ ２つの方向の運動を結びつける物理量は「時間」
→ 衝突の際に，速度が反転してはね返り係数倍される
→ 「斜面に沿ってすべり落ちる」を数式でどう表現する？


【原則編27】
「衝突・はね返り係数」(実戦問題④⑤⑥)
  横浜国立大学後期日程(2001年)＜改題＞・
  宮崎大学(1986年) 過去問解説

あと３題，「はね返り係数(反発係数)」の実戦問題を解こう。
実戦問題④は，
原則編22で扱った「力学的エネルギー保存則が成り立つ斜衝突」を
「はね返り係数の式」でとらえ直します。
実戦問題⑤は，前半部分は実戦問題①と同じ問題です。
後半分の「斜衝突」を実戦問題④で示した解法で解きます。
実戦問題⑥は，なぜか1980年代によく見られた問題で，
小球を壁に当てて元の位置にもどすための条件を考えます。
どの物理量を仮定するかで，計算量が大きく変わってきます。
そしてどの(等加速度運動の)公式を選択するかも重要です。
できるだけシンプルに，未知量を少なくして考えよう。


【原則編28】
「総合問題」(実戦問題①②)
  九州大学(2003年)・
  奈良県立医科大学医学部後期日程(2022年)
  過去問解説

原則編の最後に，総合問題を用意しました。
これまでの講義で得たものを使って，トライしてみてください。
入試問題の中には「問題のある問題」も含まれています。
そんな問題もこの総合問題では取り上げていきます。

実戦問題②の問題文の中の初速の条件式は，
上端の物体が床に衝突しないための条件です。
それを下に導出しておいたので，気になる人は確認してください。


【原則編29】
「総合問題」(実戦問題③④)
  大阪府立大学(1971年) 過去問解説
  および 問題のある問題

総合問題の第２弾です。
実戦問題③は大阪府立大学(1971年)の過去問。
古い問題ですが，今でも出題される可能性の高い問題。
聖文社の物理入試問題詳解では《難解》と評されていました。
その中の解説では
「摩擦がないから力学的エネルギー保存則が成り立つ」
という謎の文章がありました。
いやいや，摩擦がなくても垂直抗力が仕事をすることがありますよ。
垂直抗力は「非保存力」です。
今回の場合は，２つの垂直抗力のする仕事が相殺するから
力学的エネルギーが保存するのです（原則編19参照）。


もう少し続きます
マナブ




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