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【数学】三角関数の合成
対象:定期試験以上
今回は 三角関数の合成 について理解しましょう
三角関数の合成は 加法定理の逆算 となります
使えるときは $${a\sin \theta +b\cos \theta (\sin \theta \ と\ \cos \theta \ の一次結合)}$$ のときです
双方1次であり 角の部分が共通であることが必要です
![](https://assets.st-note.com/img/1694011813409-jVdDClebrA.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1694011822798-hEjiAhrPI6.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1694014505648-E3v8U3X4G3.png?width=1200)
$${\alpha}$$が具体的な角でわからないときは
とりあえず $${\sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta+\alpha)}$$ とかき
但書きのように $${\cos \alpha \ と\ \sin \alpha}$$の値を書くまでがセットです
さて 上記の①のみでOK ということで 実際に$${\sin }$$に合成してみましょう
角度$${\alpha}$$を $${-\dfrac{\pi}{2}\leqq \alpha \leqq \dfrac{\pi}{2}}$$ の範囲で合成するやり方です
![](https://assets.st-note.com/img/1694013886150-dSGaBsHBw3.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1694013745408-nHhmUnPd3O.png?width=1200)
加法定理の逆 という観点から言えば
まず式全体を斜辺の長さ2でくくってから
$${2\Big(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta+\dfrac{1}{2}\cos \theta\Big)}$$
$${ =2\Big(\cos \dfrac{\pi}{6}\sin \theta+\sin \dfrac{\pi}{6}\cos \theta\Big)}$$
$${ =2\sin\Big(\theta +\dfrac{\pi}{6}\Big)}$$
となりますが 機械的に上の様な三角形を考えて合成してよいです
![](https://assets.st-note.com/img/1694013897036-ICOTzYlNDF.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1694014020183-HGx9qvAHHq.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1694014084930-4Ahl6JWOeb.png?width=1200)
問題によっては「$${A\cos (\theta +\alpha)}$$の形で答えよ」や「$${A>0}$$として答えよ」など条件が指定される場合がありますが
その際には 上の方法で合成した後に
![](https://assets.st-note.com/img/1694014328348-vwViYBl9bH.png?width=1200)
を用いて$${\sin }$$と$${\cos }$$をチェンジしたり
![](https://assets.st-note.com/img/1694014358828-D7eVExh3w9.png?width=1200)
を用いて係数の正負をチェンジして調整すればOKとなります
今回はここまで