【数学】解の個数と解の対応

対象：定期試験以上

今回は「解の個数」の問題のうちで「置換え後の解の対応」を考える問題を扱います

復習として　解の個数　の問題では

(ア)　2次方程式なら　原則として判別式
(イ)　グラフを考え　$${x}$$軸との交点の個数を考える
です

(イ)でも定数分離ができるものについては　定数分離
によって2つのグラフの交点の個数を視覚的に考える
という手法を用いました

また　置換えをしてカンタンな関数で考える　ということも学習しました

今回はこれらを前提とする問題です

(1)では，最小値問題です
共通部分が見えるので置き換えをして2次関数化して考えましょう

(2)では解の個数の問題であり　定数$${k}$$が既に分離されている状態なので「定数分離」で視覚的に考えます

ここで(1)で得られた$${t}$$の2次関数
$${y=t^2+6t+5　(-4\leqq t)}$$　のグラフを利用するわけですが
このグラフと$${y=k}$$のグラフの交点は
問題の方程式の解の個数とは一致しません
聞かれているのは「$${x}$$の個数」であり「$${t}$$の個数」ではないからです

したがって　$${t}$$と$${x}$$の対応を調べる　必要があります
(2)の1～3行目の部分です　（←ここが最大のポイント)

解の個数を考えるのに
「置換え」と「解の対応」を考える問題でした

この論点は　三角関数の置き換え　指数・対数の置き換えによっても同様の論点があります