【数学】軌跡05媒介変数表示

対象：定期試験以上

今回は軌跡の5回目　媒介変数表示　です

前回はこちら

まず，最初に1つの知識の確認をします

上記の通り「解と係数の関係」を利用します
何故なら，上記の「弦の長さ」や「弦の中点の座標」は
対称式になるからです

ここが理解できていないと　「何で急に解と係数が・・・」
となってしまいます
覚えていなかった人は　円(数学II)などの問題を探して確認してください

さて，解と係数の関係を利用してP$${(x，y)}$$の座標を
$${\alpha，\beta}$$を用いて表しました
$${y}$$座標については　$${y}$$座標の平均　として計算しましたが
$${y=mx+m}$$上で$${x=\dfrac{\alpha+\beta}{2}}$$となる点
として計算してもよいです

$${\alpha \ と\ \beta}$$は　解と係数の関係の式で$${m}$$とつながっていますから　それを用いて$${\alpha \ と\ \beta}$$を消去しましょう

そうすると⑥⑦が出てきます(この表示を媒介変数(パラメータ)表示という)　
あとは，媒介変数(パラメータ)である$${m}$$を消去して
$${x \ と\ y }$$の関係式を作りましょう

そして「どこを動くか」の確認は⑥で行います

ここが　軌跡が媒介変数表示されたときのポイント　で
⑥で$${x}$$がどの範囲をうごくのかを考えます
$${m}$$は限られた範囲しかうごきませんから　$${x}$$も限られた範囲しか動かないんですね
それが　軌跡として得られた関数の定義域です

媒介変数表示で求めた軌跡が　円や2次曲線(楕円や双曲線等)になり　1つの$${x}$$に対して2つの$${y}$$が対応しているときは
$${x}$$の変域だけでなく　$${y}$$の変域を考える必要があります
軌跡が　円の上半分　のようなことがあるからです
媒介変数表示ではなく　単に式変形により円等が得られた場合には除外点を考慮すればよいです

たまに　勘違いをしている生徒もいるので　さらに注意点をあげておきます

グラフ全体を動くときには「逆に，この○○上の任意の点は・・・」
と書いていました

ところが　一部しか動かない場合には　「逆に・・・」の代わりに
「$${x}$$はこの範囲しか動きません」という内容を記述します

今回は　ここまで

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