【数学】円順列・同じものを含む順列

対象：定期試験以上

円順列と同じものを含む順列を理解しましょう

一列に並べる順列と異なり　円順列では円形に並べることで
回転して同じものが出てきてしまうので
それを防ぐために「1つを固定して考えよう」ということでした
1つを固定することにより　そこから右回り(または左回りに)座席に番号がつくことになるので　残りの$${n-1}$$個を番号のついた座席に一列に並べるのと同じです
これが　$${(n-1)!}$$　ですね
円形に並べるといっても　席に番号が付いていたりで
席が区別できる場合には　たんなる順列となります

一方で　$${n!}$$　と計算してしまうと
実は円順列として1通りの並びを　$${n}$$通り　と数えてしまっているので
数えすぎを解消するために　$${n}$$で割る
すなわち　$${\dfrac{n!}{n}}$$通り　となります

こちらは　いったん数えた後，数えすぎを調整　ということで
当然　値は同じですが考えていることが少し違います

さて　次は同じものを含む順列です

同じものを含む$${n}$$個のものの順列を　$${n!}$$通り
と計算してしまうと　数えすぎています
それを解消するために　$${p!}$$や$${q!}$$などで割っています

一方　次の表現もありました

これは$${n}$$箇所の場所をまず用意して　そこに文字を入れていくという考え方です
$${n}$$箇所の場所のうち　まず$${p}$$個あるものを入れる場所を選ぶと
$${{}_n{\rm C}_p}$$通りの選び方があり
残りの$${n-p}$$箇所の場所から　$${q}$$個あるものを入れる場所を選ぶと
$${{}_{n-p}{\rm C}_q}$$通りの選び方があり
と続いていきます
二項定理の二項係数は　この考えを用いてますね

以上　カンタンではありましたが
円順列　と　同じものを含む順列　を確認しました
いずれも　とりあえず公式のような感じですが
理解すれば自然と出てくるもの　ということになります
いずれの場合も2通りの表現があり　それぞれ大事だといった次の考えによるものです

今回は以上です