【数学】剰余類(余りによる分類)

対象：定期試験以上

今回は　剰余類　に関するお話です

さて　剰余類の利用ですが　自然数に関する命題を証明するときに使います

剰余類による証明以外には　次のようなものがあります

さて　何で割った余りで考えるかについては

としか　いいようがありません．
3の倍数　や　3で割った余り　などと言われていれば3の剰余類
特に言及されていなければ　小さい数(2や3)の剰余類で都合がよいもの
という感じです

また　合同式　というものがあります

これは合同式のところでまた触れます

ちょっと問題をやってみましょう

等差数列の連続する3項ですから　必ず3の倍数を含みます
よって1つは必ず3とすぐにわかるのですが
それしかない　ということを記述しましょう

「5の倍数」とあるので5の剰余類を考えます
5の剰余類は$${5m，5m+1，5m+2，5m+3，5m+4}$$の5つであり
5つに場合分けをしても良いですが
2乗したときに定数が同じになることから
解答のように$${5m，5m\pm 1，5m\pm 2}$$のようにしてもかまいません

また　13の剰余類　などのように数が大きい場合には
ひとまずまとめて　$${13m+k　(0\leqq k\leqq 12)}$$　とおいて式変形をしてから議論することもあります