【数学】関数の凸性と不等式01

対象：定期試験以上

今回は　関数の凸性　について学習します

テーマは　接線とグラフの位置関係　です

上に凸か下に凸かは　第2次導関数$${f''(x)}$$の符号によって調べるのでした

そして　凸な関数は次のような性質をもちます

関数全体で　凸方向が変化しない
または　問題で与えられた範囲で　凸方向が変化しない
という場合に　グラフと接線の上下関係がわかる
というものです

基本的な問題で確認しましょう

まずは　普通に微分を用いての解答

次は凸性を考えての解答

与不等式を　単純に微分で証明しようとするのか
図形的な意味を考えて　凸なグラフと接線の位置関係とみるのか
によって　証明が変わります

凸性を使わなきゃダメ　ということではないのですが
図形的な考察もできることはメリットがあります

頻出なものは
$${e^x\geqq x+1}$$
$${\log x \leqq x-1　(x>0)}$$
$${\sin x \leqq x　(0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2})}$$
$${x\leqq \tan x 　(0\leqq x <\dfrac{\pi}{2})}$$
と　それらを平行移動等したものです
いずれも，凸性が変わらない関数と接線の関係となります

凸性を利用した解答をする場合には
必ず　第2次導関数$${f''(x)}$$を計算し　凸性に言及しましょう

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