【数学】第2次導関数の必要性

対象：定期試験以上

今回は　いつ2回微分するの？　というお話です

数学IIIでは　第2次導関数　というものが出てきます
直接的に述べられているのは　関数の凹凸　の部分ですね

問題で　「関数の凹凸を調べ　そのグラフの概形をかけ」
と言われているときには　第2次導関数を調べる必要があります

ところがそれ以外でも第2次導関数を調べる必要がある場合があります

代表的なものは2つあり
1つ目は　異種混合型関数のグラフをかく(または増減を調べる)ときです

例えば
$${f(x)=e^x-\dfrac{x^2}{2} 　(x>0)}$$　のとき
$${f'(x)=e^x-x}$$
$${f''(x)=e^x-1>0　(\because \ x>0)}$$
よって　$${f'(x)}$$は単調増加であり　$${f'(0)=1}$$であるから
$${f'(x)>0}$$
よって　$${f(x)}$$は単調増加であり　$${f(0)=1}$$
ゆえに　$${x>0}$$で　$${f(x)>0}$$

のようになります
$${f'(x)=0}$$となるときがあるのかないのかわからないので
(今回ないことは視覚的に明らか)
$${f'(x)}$$のグラフはどうなるのかを調べるために
もう1回微分します
結局　異なる種類の関数が混ざっているので　$${f'(x)}$$　の正負の変化がつかめないんですね

異なる種類が混ざるといっても　常に2回微分が必要なわけではなく
例えば　$${f'(x)=e^x(\sin x -\cos x)}$$　などは
$${f'(x)=\sqrt{2}e^x\sin (x-\frac{\pi}{4})}$$　となって正負を調べることができます

というわけで　これが1つ目でした

次の2つ目は　関数の凸性　を使うときです

グラフは接線より上側にある　とか　グラフは弦よりも下にあるなど
凸性による図形的な性質を使うときには
関数が上に凸(または下に凸)ということを保証するために
第2次導関数まで言及する必要があります

以上　第2次導関数のお話でした