【数学】関数の増減と極値

対象：定期試験以上

今回は　関数の増減と極値　について学習します

まずは　関数の増減についてです

簡単なイメージでいえば
極大値とは「山の頂上　周辺より大きいところ」
極小値は「谷底　周辺より小さいところ」
となります
そして実は上で(i)$${f'(a)=0}$$は不要といったのは
次のようなものも極大極小となるからです
このようなとんがった部分では　微分係数が存在しません(とんがっているから接線の傾きが考えられない)
存在しないのですから$${f'(a)=0}$$という条件は満たさないことになります
理系の人は　こういうものが数学IIIで出てきます

話は　なめらかな曲線である$${n}$$次関数に戻して
極値は接線の傾きである$${f'(a)}$$の正負が変化するところでした

教科書にもあるような問題ですが　次の問題で確認しましょう

前半部分で
・極値では$${f'(x)=0}$$となる(接線の傾きが0である)
・$${f(1)=5}$$である
という条件を用いました
1つ目の条件は必要条件である$${f'(x)=0}$$を考えていて
2つ目の条件は　あくまで　$${f(1)=5}$$　という条件であり
「極大値が」という条件は含まれていません
グラフの概形を知っていれば$${x=1 \ で極大値が5}$$というのは明らかなのですが　その確認作業をしているのが後半の　逆に・・・　の部分です

実際に微分して増減表を書いていますが
何を確認しているかというと　増減表の2段目です
$${x=1\ の前後でf'(x)が正から負に変わる}$$
$${x=3\ の前後でf'(x)が負から正に変わる}$$
この2つを確認しています
したがって　増減表を書かずにこの2つを言葉で言及しても良い　ということであり
また　$${f'(x)=3(x-1)(x-3)}$$のグラフを描いて視覚的に示しても良いでしょう

増減表というのは　いろいろな情報を含むので便利ですが
便宜的に書くものであって　必要がなければ書かなくて構いません
今回の問題に限っては　増減表を書くのが目的ではなく　
もちろん　グラフを描くのが目的でもなく
$${x=1}$$で極大値　$${x=3}$$で極小値　となることを確認するのが目的だということを理解しましょう

ポイントを再確認すると
$${f'(x)=0}$$は極値となる必要条件であり十分条件ではない
ということです