【数学】数学的帰納法①

対象：定期試験以上

すべての自然数に対して成り立つ命題の証明の方法としては次の3つがあります

数学的帰納法学習する際には　その直前に漸化式があり
初項が定義され
$${a_n}$$が定義されれば　その次$${a_{n+1}}$$が定義される
結果的に　すべての自然数で定義される
という　帰納的定義　というものを学んでいるはずだと思います

それと同様に　直前で成り立てばその次でも成り立つ
結果的に　すべての自然数で成り立つ
というものが　数学的帰納法　です

多少のパターンはあるものの，基本となる概念は同じです

では，1問やってみましょう

記述の注意点をあげると

まず数学的帰納法を用いるときは
数学的帰納法の言葉を入れる　ようにしましょう
問題文で「数学的帰納法を用いて」と言われているときには
省略しても構わないと思いますが　クセをつけておくとよいと思います

また　(ii)については　文字$${k}$$を用いずに
ある$${n}$$で成り立つと仮定するとき$${n+1}$$のときにも成り立つ
というように書いてもOKです

そして　帰納法による証明の最大重要ポイントは

ということも意識してください
帰納法の仮定($${n=k}$$のときの成立)を使わないで証明できるのなら，それはそもそも　数学的帰納法ではなく　直接証明　となるからです

だから帰納法の仮定は必ず使う！
今回で言えば　$${2^{k+1}-3^{2k-1}=7m \ (m \ は整数)}$$　を必ず使わなければなりません
使わなければならないので　式変形の方向が定まります
今回の問題では　底が2の部分と底が3の部分があり
帰納法の仮定を用いて　底が2の部分にそろえた
ということです

もちろん底を3のものにそろえても良いです(次解答)

数学的帰納法②へ　つづく