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【数学】関数の置き換えと最大最小
対象:定期試験以上
今回は 関数の最大最小問題 の1つの基本的テーマを扱います
原則として,関数の最大最小を調べるには
グラフを描いて 目で考えよう
となります
これは 複雑な関数においても変わりません
2次関数なら平方完成,それ以外では必要があれば微分して増減表をかき,極限を考えてグラフの概形を得る
というのが普通です
しかし
関数が複雑だった場合には
適当な置換えをして 簡易な関数で考えても
求める最大値・最小値は変わらない
これより,置換えによってカンタンな関数で考えられるのなら
それに越したことはないですよね
もちろん グラフを描け と言われたら置換えせずそのまま議論することになります
置換えをする際1つ注意点があります
置換えによって もとの関数とは別の変数の関数となりますが
置換えたら まず変域を考えよう
ここだけは,クセをつけておきましょう
さて 1問見てみましょう
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(1)で置換えの誘導がついていて
(2)でその関数で最大最小を考えてくれ
という構成です
$${-4\leqq x\leqq -1}$$と$${x}$$の範囲が限定されていますので
(2)で$${t}$$の関数の最大最小を考えるには
$${t}$$の変域が必要になります
そして,最大最小を求めた後は
最大最小を与える$${t}$$の値から
対応する$${x}$$の値を求めればOK という流れです
今回は4次関数を2次関数にしましたが
様々な関数で「置換え」がされます
そのときに大切なのが
置換えたら まず変域を考えよう
ということになります