数学作問星人

　先日の問題の完成版です。

　以下、ネタバレになります。

　（１）は簡単です。後半の証明は、例えばS(n)=0になる例として1-1+1-1+･･･1-1を挙げて、奇数回目の1を一つずつ2にすれば1ずつ増えていく…みたいな感じでできます。

　この問題の核は（２）です。「P(n,m)を最大にするm」という問いかたをしているせいで、実際にP(n,m)を求めずとも答えが分かるのかな？という考えになりかねない。例えば「P(n,m)をn,mを用いて表せ」という問題なら、ほぼ確実に漸化式を立てようという発想になると思います。実際、S(n)の構造に気づけばすぐに漸化式は立ちます。さらに、n=4,6あたりで実験すれば分かるように、P(n,m)が二項定理での係数を順に並べたものになっているという推測ができるので、漸化式と合わせて帰納法で証明できます。というか、P(n,m)を求めないと（３）が解けないし。あとは、P(n,m)を最大にするmが0であることを証明すれば勝ち。これは確率の問題とかでもよくあるやーつですね。m番目とm+1番目の比を考えればよいと。

　最後に（３）ですが、これはまったく本編とは関係ありません。（２）と同じような計算をするだけですが、比をとった後が少々面倒ですかね。

　今回はnを偶数に限定しましたが、これは単に奇数の場合でも同じような計算をするだけだからです。しかも、奇数だとS(n)がプラスの方に偏ってしまい、あまり綺麗だとは言えないので。

　あと（２）には別解があり、P(n,m)を普通に場合の数の問題として求めます。②のカードをk枚引くときの場合の数（奇数回目の1,2の並べ方と偶数回目の1,2の並べ方の積）を求めて、それを0からn/2-mまで足し合わせればOKです。ここのシグマ計算はヴァンデルモンドの畳み込みです。　

　P(n,m)をmが小さい順から横に並べて、nが小さい順に上から並べるとパスカルの三角形ができますが、これなんか数学的な背景あるんですかね。有識者求ム。