Diophantine equation 14

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$${Published}$$  $${Online}$$  $${First}$$  $${(30/1/2024)}$$
$${Latest}$$  $${additions}$$  $${(31/1/2024)}$$
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$${Diophantine}$$ $${equation}$$ $${14}$$
$${(14.1)}$$  $${x^2+y^2+z^2=2w^2}$$
$${(14.2)}$$  $${x^4+y^4+z^4=2w^2}$$
$${(14.3)}$$  $${x^4+y^4+z^4=2w^4}$$
$${(14.4)}$$  $${x^4+y^4+z^4=w^2}$$
の整数解を求める。
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$${case(14.1)}$$  $${(x^2+y^2+z^2=2w^2)}$$

次の恒等式を使う。
$${(a+b)^2+(a-b)^2+(2b)^2=2(a^2+3b^2)}$$
ここで、$${case(2.1)}$$の【解法$${2}$$】の解を使う。
$${a^2+3b^2=w^2}$$
$${(a,b,w)=(m^2-kn^2,2mn,m^2+kn^2)}$$
$${(k=3)→}$$
$${(a,b,w)=(m^2-3n^2,2mn,m^2+3n^2)}$$
これを恒等式に代入すると解が求まる。
すなわち、

$${x=m^2+2mn-3n^2\\y=m^2-2mn-3n^2\\z=4mn\\w= m^2+3n^2}$$

$${(m,n)=(4,1)→\\(x,y,z,w)=(21,5,16,19)}$$
すなわち、$${21^2+5^2+16^2=2(19)^2}$$
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$${case(14.2)}$$  $${(x^4+y^4+z^4=2w^2)}$$

【解法$${1}$$】
次の恒等式を使う。
$${(a+b)^4+(a-b)^4+(2b)^4=2(a^2+3b^2)^2}$$
恒等式がそのまま解になる珍しいパターンです。

$${x=m+n\\y=m-n\\z=2n\\w= m^2+3n^2}$$

$${(m,n)=(2,1)→(x,y,z,w)=(3,1,2,7)}$$
すなわち、$${3^4+1^4+2^4=2(7)^2}$$

【解法$${2}$$】
次の恒等式を使う。
$${(a-b)^4+(b-c)^4+(c-a)^4=\\2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)^2}$$
これも恒等式がそのまま解になるパターンです。

$${x=m-n\\y=n-l\\z=l-m\\w=l^2+m^2+n^2-lm-mn-nl}$$

【解法$${3}$$】【追記$${(31/1/2024)}$$】
次の恒等式を使う。
$${(a+b)^4+a^4+b^4=2(a^2+ab+b^2)^2}$$
これも恒等式がそのまま解になるパターンです。
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$${case(14.3)}$$  $${(x^4+y^4+z^4=2w^4)}$$

次の恒等式を使う。
$${(a+b)^4+(a-b)^4+(2b)^4=2(a^2+3b^2)^2}$$
ここで、$${case(2.1)}$$の【解法$${2}$$】の解を使う。
$${a^2+3b^2=w^2}$$
$${(a,b,w)=(m^2-kn^2,2mn,m^2+kn^2)}$$
$${(k=3)→}$$
$${(a,b,w)=(m^2-3n^2,2mn,m^2+3n^2)}$$
これを恒等式に代入すると解が求まる。
すなわち、

$${x=m^2+2mn-3n^2\\y=m^2-2mn-3n^2\\z=4mn\\w= m^2+3n^2}$$

これは$${case(14.1)}$$  $${(x^2+y^2+z^2=2w^2)}$$
の解と同じである。つまり、
$${(14.1)}$$  $${x^2+y^2+z^2=2w^2}$$
$${(14.3)}$$  $${x^4+y^4+z^4=2w^4}$$
は同時に満たす解を持つ。

$${(m,n)=(4,1)→\\(x,y,z,w)=(21,5,16,19)}$$
$${21^2+5^2+16^2=2(19)^2}$$
$${21^4+5^4+16^4=2(19)^4}$$
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$${case(14.4)}$$  $${(x^4+y^4+z^4=w^2)}$$

$${a^2+b^2=c^2}$$の時、次の式を考える。
$${(ab)^4+(bc)^4+(ca)^4}$$
$${=a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\\= a^4b^4+(b^4+a^4)c^4}$$ $${(←c^2=a^2+b^2}$$代入$${)}$$
$${=a^4b^4+(a^4+b^4)(a^2+b^2)^2\\=a^8+2a^6b^2+3a^4b^4+2a^2b^2+b^8\\=(a^4+a^2b^2+b^4)^2}$$

つまり
$${x=ab\\y=bc\\z=ca\\w=a^4+a^2b^2+b^4}$$

これに$${(a,b,c)=(m^2-n^2,2mn,m^2+n^2)}$$
を代入すると解が求まる。

$${x=2mn(m^2-n^2)\\y=2mn(m^2+n^2)\\z=(m^2+n^2)(m^2-n^2)\\w=m^8+14m^4n^4+n^8}$$

$${(m,n)=(2,1)\\→(x,y,z,w)=(12,20,15,481)}$$
すなわち、$${12^4+20^4+15^4=481^2}$$
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