Diophantine equation 20

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$${Published}$$  $${Online}$$  $${First}$$  $${(5/2/2024)}$$
$${Latest}$$  $${additions}$$  $${(5/2/2024)}$$
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$${Diophantine}$$ $${equation}$$ $${20}$$
$${(20.1)}$$  $${x^4+y^4=z^4+w^4}$$
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$${case(20.1)}$$  $${(x^4+y^4=z^4+w^4)}$$

$${x=at+c  ,  y=bt-d  \\z=at+d  ,  w=bt+c}$$
と置きます。すると、$${t^4,t^0}$$の係数は$${0}$$になり、
$${t^3}$$の係数は次の様になる。
$${c(a^3-b^3)=d(a^3+b^3)}$$
$${c=(a^3+b^3),d=(a^3-b^3)}$$とすると、
$${t^3}$$の項も$${0}$$となり$${t^2,t^1}$$が残る。
$${t\neq 0}$$として予め$${t}$$で割っておく。
$${3(a^2-b^2)(c^2-d^2)t=\\2(ad^3-ac^3+bc^3+bd^3)}$$
となる。
$${t}$$について解くと、
$${t=\dfrac{2(ad^3-ac^3+bc^3+bd^3)}{3(a^2-b^2)(c^2-d^2)}}$$
この$${t}$$と$${c=(a^3+b^3),d=(a^3-b^3)}$$を代入し
分母を払うと。
$${\begin{cases} x = a^7 +a^5b^2- 2a^3b^4+3a^2b^5+ab^6\\y = a^6b - 3a^5b^2-2a^4b^3+a^2b^5+b^7\\z = a^7 +a^5b^2- 2a^3b^4- 3a^2b^5+ab^6\\ w= a^6b+3a^5b^2-2a^4b^3+a^2b^5+b^7\end{cases}}$$

$${(a,b)=(2,1)→\\(x,y,z,w)=(158,-59,134,133)}$$
$${158^4+59^4=134^4+133^4}$$
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$${REFERENCES}$$
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$${L. J. Mordell\\Diophantine Equations\\Academic Press, London, 1969.(p90)}$$
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