Diophantine equation 2

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$${Published}$$  $${Online}$$  $${First}$$  $${(21/1/2024)}$$
$${Latest}$$  $${additions}$$  $${(29/1/2024)}$$
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$${Diophantine}$$ $${equation}$$ $${2}$$
$${case(2)}$$  $${x^2+ky^p=z^2}$$    $${p=2,p≧3}$$
の整数解を求める。
$${case(2.1)}$$  $${x^2+ky^2=z^2}$$  $${(p=2)}$$
$${case(2.2)}$$  $${x^2+ky^p=z^2}$$  $${(p≧3)}$$
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$${case(2.1)}$$  $${(p=2}$$→$${x^2+ky^2=z^2)}$$

【解法$${1}$$】
まず、次の恒等式を使う。
$${(a-b)^2+4ab=(a+b)^2}$$
$${4ab}$$が$${ky^2}$$になる様に
$${a=m^2 , b=k}$$とおく。
すると、$${4ab=k(2m)^2}$$となるので、
$${x=a-b , y=2m , z=a+b}$$とすると、

$${(x,y,z)=(m^2-k,2m,m^2+k)}$$
$${(p,k)=(2,5)}$$→$${x^2+5y^2=z^2}$$の解は、
$${(m=4)}$$→$${(x,y,z)=(11,8,20)}$$
$${(m=6)}$$→$${(x,y,z)=(31,12,41)}$$

【解法$${2}$$】$${(}$$追記$${：29/1/2024)}$$
次に$${a=m^2 , b=kn^2}$$とおく。
すると、$${4ab=k(2mn)^2}$$となるので、
$${x=a-b , y=2mn , z=a+b}$$とすると、

$${(x,y,z)=(m^2-kn^2,2mn,m^2+kn^2)}$$
$${(n=1)}$$の時が【解法$${1}$$】の解になる。

$${(p,k)=(2,5)}$$→$${x^2+5y^2=z^2}$$の解は、
$${(m,n)=(7,2)}$$→$${(x,y,z)=(29,28,69)}$$
つまり、$${29^2+5(28)^2=69^2}$$
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$${case(2.2)}$$  $${(p≧3}$$→$${x^2+ky^p=z^2)}$$

【解法$${1}$$】
$${case(2.1)}$$の$${4ab}$$が$${(ky^p , p≧3)}$$になる様に
$${a=2^{p-2}m^p , b=k}$$とおく。
すると、$${4ab=k(2m)^p}$$となるので、
$${x=a-b , y=2m , z=a+b}$$とすると、

$${(x,y,z)=(2^{p-2}m^p-k,2m,2^{p-2}m^p+k)}$$
$${(p,k)=(3,5)}$$→$${x^2+5y^3=z^2}$$の解は、
$${m=2}$$→$${(x,y,z)=(11,4,21)}$$
$${m=4}$$→$${(x,y,z)=(123,8,133)}$$
$${m=6}$$→$${(x,y,z)=(427,12,437)}$$

【解法$${2}$$】$${(}$$追記$${：29/1/2024)}$$
次に$${a=2^{p-2}m^p , b=kn^p}$$とおく。
すると、$${4ab=k(2mn)^p}$$となるので、
$${x=a-b , y=2mn , z=a+b}$$とすると、

$${x=2^{p-2}m^p-kn^p\\y=2mn\\z=2^{p-2}m^p+kn^p}$$

$${(n=1)}$$の時が【解法$${1}$$】の解になる。
$${(p,k)=(3,5)}$$→$${x^2+5y^3=z^2}$$の解は、
$${(m,n)=(7,3)}$$→$${(x,y,z)=(551,42,821)}$$
つまり、$${551^2+5(42)^3=821^2}$$
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この様に$${(p,k,m,n)}$$の値を決めれば、
$${(x,y,z)}$$の値が求まる。
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